Determine se a função é contínua em toda a reta real. Explique seu raciocínio.
3. f(x) = 1/(x^2 - 4)

Passo 1

Então, a gente tem que verificar se a função é contínua em toda a reta real. Estamos lidando com o conceito de continuidade de funções, que basicamente nos diz se a função não tem “quebras”, “saltos” ou “buracos” no seu gráfico. Para resolver isso, vamos ver onde a função está definida e se há algum ponto onde ela pode não ser contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função está definida. A função é uma fração, e a gente sabe que uma fração não está definida quando o denominador é zero. Então, vamos resolver a equação:

Passo 3

Resolvendo a equação :
Isso significa que a função não está definida quando e , porque nesses valores o denominador fica zero e a função fica indefinida.

Passo 4

Agora, vamos analisar a continuidade da função. Uma função é contínua em um ponto se:
  1. A função está definida nesse ponto.
  2. O limite da função quando se aproxima desse ponto existe.
  3. O limite é igual ao valor da função no ponto.
Como vimos que em e a função não está definida, esses pontos causam “buracos” no gráfico da função, ou seja, pontos de descontinuidade.

Passo 5

Além disso, para todo outro valor de na reta real (exceto e ), o denominador não é zero, então a função está bem definida e contínua nesses pontos. Não há outros valores que causem problemas na definição da função.

Resposta

A função não é contínua em toda a reta real, pois ela apresenta descontinuidades nos pontos e .

Exercícios relacionados