Determine se a função é contínua em toda a reta real. Explique seu raciocínio.
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Passo 1
Então, a gente tem que verificar se a função
é contínua em toda a reta real. Estamos lidando com o conceito de continuidade de funções, que basicamente nos diz se a função não tem “quebras”, “saltos” ou “buracos” no seu gráfico. Para resolver isso, vamos ver onde a função está definida e se há algum ponto onde ela pode não ser contínua.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função
está definida. A função é uma fração, e a gente sabe que uma fração não está definida quando o denominador é zero. Então, vamos resolver a equação:
Passo 3
Resolvendo a equação
:
Isso significa que a função
não está definida quando
e
, porque nesses valores o denominador fica zero e a função fica indefinida.
Passo 4
Agora, vamos analisar a continuidade da função. Uma função é contínua em um ponto se:
- A função está definida nesse ponto.
- O limite da função quando
se aproxima desse ponto existe. - O limite é igual ao valor da função no ponto.
Como vimos que em
e
a função não está definida, esses pontos causam “buracos” no gráfico da função, ou seja, pontos de descontinuidade.
Passo 5
Além disso, para todo outro valor de
na reta real (exceto
e
), o denominador
não é zero, então a função está bem definida e contínua nesses pontos. Não há outros valores que causem problemas na definição da função.
Resposta
A função
não é contínua em toda a reta real, pois ela apresenta descontinuidades nos pontos
e
.