Determine um vetor unitário na direção do qual decresce mais rapidamente em obtenha a taxa de variação de em nessa direção.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos um vetor unitário na direção em que a função diminui mais rápido no ponto . Além disso, queremos saber qual é a taxa de variação de nessa direção. Para isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente e vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é dado pelas derivadas parciais em relação a e .
Vamos calcular essas derivadas:
Então, o gradiente fica:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Primeiro, calculamos no ponto :
Então:
Sabemos que , então:
Passo 4
A direção de máximo decrescimento da função é exatamente na direção oposta ao gradiente. Para encontrar o vetor unitário nessa direção, vamos primeiro inverter o gradiente e, depois, normalizar o vetor.
Primeiro, invertendo o gradiente:
Agora, vamos calcular o módulo desse vetor:
Então, o vetor unitário na direção de máximo decrescimento é:
Passo 5
Para encontrar a taxa de variação de na direção de máximo decrescimento, usamos a derivada direcional, que é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor unitário na direção desejada.
Sabendo que é na direção oposta ao gradiente, a taxa de variação será negativa e igual a menos o módulo do gradiente.
Primeiro, calculamos o módulo do gradiente no ponto :
Então:
Resposta
O vetor unitário na direção de máximo decrescimento é e a taxa de variação de nessa direção é .