Determine um vetor unitário na direção do qual f decresce mais rapidamente em P e obtenha a taxa de variação de f em P nessa direção.
(b) f(x, y) = cos(3x - y); P(pi/6, pi/4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos um vetor unitário na direção em que a função diminui mais rápido no ponto . Além disso, queremos saber qual é a taxa de variação de nessa direção. Para isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente e vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é dado pelas derivadas parciais em relação a e .
Vamos calcular essas derivadas:
Então, o gradiente fica:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Primeiro, calculamos no ponto :
Então:
Sabemos que , então:

Passo 4

A direção de máximo decrescimento da função é exatamente na direção oposta ao gradiente. Para encontrar o vetor unitário nessa direção, vamos primeiro inverter o gradiente e, depois, normalizar o vetor.
Primeiro, invertendo o gradiente:
Agora, vamos calcular o módulo desse vetor:
Então, o vetor unitário na direção de máximo decrescimento é:

Passo 5

Para encontrar a taxa de variação de na direção de máximo decrescimento, usamos a derivada direcional, que é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor unitário na direção desejada.
Sabendo que é na direção oposta ao gradiente, a taxa de variação será negativa e igual a menos o módulo do gradiente.
Primeiro, calculamos o módulo do gradiente no ponto :
Então:

Resposta

O vetor unitário na direção de máximo decrescimento é e a taxa de variação de nessa direção é .

Exercícios relacionados