Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
32. f(x) = x - [x]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descrever em quais intervalos a função é contínua. A gente precisa entender o que significa ser contínua e como essa função se comporta para resolver isso. Vamos precisar conhecer o conceito de função contínua e como a parte inteira de um número funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . A notação representa a parte inteira de , ou seja, o maior número inteiro que é menor ou igual a . Por exemplo, e .

Passo 3

Então, nos dá a parte fracionária de . Por exemplo, se , então . Essa função basicamente “corta” a parte inteira e deixa só a parte decimal.

Passo 4

Agora, vamos falar sobre continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não tem “saltos” ou “quebras” ali. Ou seja, dá para desenhar o gráfico sem levantar o lápis. Vamos ver como isso se aplica à nossa função .

Passo 5

Observando , percebemos que entre dois inteiros consecutivos, digamos entre e , a função aumenta de 0 até quase 1. Por exemplo, de a , vai de 0 a 0.999… Isso acontece de forma suave, sem interrupções, então a função é contínua nesse intervalo.

Passo 6

Porém, no ponto onde é exatamente um número inteiro, algo diferente acontece. Vamos ver o que ocorre quando chega a : . Mas se a gente se aproxima de por valores menores, tá chegando perto de 1. Então, temos um salto de 1 para 0, que é uma descontinuidade.

Passo 7

Isso significa que a função tem descontinuidades em todos os números inteiros, porque é nesses pontos que ocorre esse “salto”.

Resposta

A função é contínua em todos os intervalos , onde é um número inteiro. Ela apresenta descontinuidade nos pontos onde é um número inteiro, já que a parte fracionária “salta” de 1 para 0 nesses pontos.

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