Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
32.
32.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descrever em quais intervalos a função
é contínua. A gente precisa entender o que significa ser contínua e como essa função se comporta para resolver isso. Vamos precisar conhecer o conceito de função contínua e como a parte inteira de um número funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. A notação
representa a parte inteira de
, ou seja, o maior número inteiro que é menor ou igual a
. Por exemplo,
e
.
Passo 3
Então,
nos dá a parte fracionária de
. Por exemplo, se
, então
. Essa função basicamente “corta” a parte inteira e deixa só a parte decimal.
Passo 4
Agora, vamos falar sobre continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não tem “saltos” ou “quebras” ali. Ou seja, dá para desenhar o gráfico sem levantar o lápis. Vamos ver como isso se aplica à nossa função
.
Passo 5
Observando
, percebemos que entre dois inteiros consecutivos, digamos entre
e
, a função aumenta de 0 até quase 1. Por exemplo, de
a
,
vai de 0 a 0.999… Isso acontece de forma suave, sem interrupções, então a função é contínua nesse intervalo.
Passo 6
Porém, no ponto onde
é exatamente um número inteiro, algo diferente acontece. Vamos ver o que ocorre quando
chega a
:
. Mas se a gente se aproxima de
por valores menores,
tá chegando perto de 1. Então, temos um salto de 1 para 0, que é uma descontinuidade.
Passo 7
Isso significa que a função
tem descontinuidades em todos os números inteiros, porque é nesses pontos que ocorre esse “salto”.
Resposta
A função
é contínua em todos os intervalos
, onde
é um número inteiro. Ela apresenta descontinuidade nos pontos onde
é um número inteiro, já que a parte fracionária “salta” de 1 para 0 nesses pontos.