Determine um vetor no espaço tridimensional cujo comprimento seja 5 e cujos componentes têm a maior soma possível. Utilizando multiplicadores de Lagrange.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um vetor no espaço tridimensional (ou seja, com três componentes) que tenha comprimento 5 e que a soma das suas componentes seja a maior possível. Para isso, vamos usar uma técnica matemática chamada multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a encontrar máximos ou mínimos de funções sujeitas a certas restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o vetor que estamos procurando. Vamos chamar esse vetor de v, que tem três componentes:
.
Passo 3
O comprimento (ou norma) do vetor v deve ser 5. A fórmula para o comprimento de um vetor no espaço tridimensional é:
Para facilitar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado, assim:
Essa é a nossa restrição.
Passo 4
Queremos maximizar a soma das componentes do vetor. Vamos chamar essa soma de
:
Então, nosso objetivo é encontrar os valores de
,
e
que maximizam
sob a restrição
.
Passo 5
Agora, aplicamos os multiplicadores de Lagrange. A ideia é combinar a funç��o que queremos maximizar com a restrição, usando um multiplicador (vamos chamar de
):
Substituindo
:
Passo 6
Para encontrar o máximo, derivamos a função
em relação a
,
e
e igualamos a zero:
Passo 7
Resolvendo as equações acima, temos:
Isso mostra que
. Vamos chamar esse valor comum de
, ou seja,
.
Passo 8
Agora, substituímos
na nossa restrição
:
Passo 9
Então, os valores das componentes são:
Resposta
O vetor que atende às condições do exercício é:
Esse vetor tem comprimento 5 e a soma das suas componentes é a maior possível.