Determine um vetor no espaço tridimensional cujo comprimento seja 5 e cujos componentes têm a maior soma possível. Utilizando multiplicadores de Lagrange.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um vetor no espaço tridimensional (ou seja, com três componentes) que tenha comprimento 5 e que a soma das suas componentes seja a maior possível. Para isso, vamos usar uma técnica matemática chamada multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a encontrar máximos ou mínimos de funções sujeitas a certas restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o vetor que estamos procurando. Vamos chamar esse vetor de v, que tem três componentes: .

Passo 3

O comprimento (ou norma) do vetor v deve ser 5. A fórmula para o comprimento de um vetor no espaço tridimensional é:
Para facilitar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado, assim:
Essa é a nossa restrição.

Passo 4

Queremos maximizar a soma das componentes do vetor. Vamos chamar essa soma de :
Então, nosso objetivo é encontrar os valores de , e que maximizam sob a restrição .

Passo 5

Agora, aplicamos os multiplicadores de Lagrange. A ideia é combinar a funç��o que queremos maximizar com a restrição, usando um multiplicador (vamos chamar de ):
Substituindo :

Passo 6

Para encontrar o máximo, derivamos a função em relação a , e e igualamos a zero:

Passo 7

Resolvendo as equações acima, temos:
Isso mostra que . Vamos chamar esse valor comum de , ou seja, .

Passo 8

Agora, substituímos na nossa restrição :

Passo 9

Então, os valores das componentes são:

Resposta

O vetor que atende às condições do exercício é:
Esse vetor tem comprimento 5 e a soma das suas componentes é a maior possível.

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