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Mínimo absoluto: e Máximo absoluto:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou a seguinte informação:
  • Mínimo absoluto:
  • Máximo absoluto:
Isso significa que, para a função , os menores valores que ela atinge são -2 nos pontos e , e o maior valor que ela atinge é 47 no ponto .
Vamos entender passo a passo como identificamos esses valores e por que eles são importantes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são máximos e mínimos absolutos:
  • Máximo absoluto: É o maior valor que a função alcança em todo o seu domínio.
  • Mínimo absoluto: É o menor valor que a função alcança em todo o seu domínio.
Esses pontos são importantes porque nos mostram os extremos da função, ou seja, onde ela atinge seus valores mais altos e mais baixos.

Passo 3

Para encontrar esses pontos, geralmente seguimos alguns passos:
  1. Encontrar a derivada da função : Isso nos ajuda a identificar os pontos críticos, onde a inclinação da função é zero ou não está definida.
  2. Igualar a derivada a zero e resolver para : Isso nos dá os candidatos a máximos e mínimos locais.
  3. Analisar os pontos críticos: Usamos o teste da segunda derivada ou o teste da primeira derivada para determinar se cada ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão.
  4. Comparar os valores da função nos pontos críticos e nas extremidades do domínio: Isso nos ajuda a identificar quais são os máximos e mínimos absolutos.

Passo 4

No seu caso, já temos os valores dos máximos e mínimos absolutos:
  • Mínimo absoluto em e com .
  • Máximo absoluto em com .
Isso significa que, após realizar os passos anteriores, encontramos que a função atinge seu menor valor de -2 nos pontos e , e seu maior valor de 47 no ponto .

Passo 5

Vamos visualizar isso com um exemplo simples. Imagine que temos a função .
  1. Derivada: .
  2. Pontos críticos: .
  3. Análise: Usando a segunda derivada, , que é positiva, indicando que é um mínimo local.
  4. Valor da fun��ão no ponto crítico: .
Neste exemplo, temos um mínimo absoluto em com . Não há máximo absoluto porque, conforme vai para , também vai para .

Passo 6

No seu exercício, além do mínimo absoluto, temos um máximo absoluto em com . Isso indica que a função tem um ponto onde atinge o maior valor que nunca mais sobe além disso em todo o seu domínio.

Resposta

Portanto, para a função :
  • Mínimo absoluto em e com .
  • Máximo absoluto em com .
Isso nos mostra os pontos onde a função atinge seus valores mais baixos e mais altos de forma absoluta.

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para todo
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, então é critico. Entretanto, como é estritamente maior do que zero em uma vizinhança de é sempre crescente, logo não possui máximos ou mínimos locais.