40
f'(x) = 101 x^100 + 51 x^50 + 1 != 0 para todo x em R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá a derivada de uma função , que é , e diz que para todo real. Nosso objetivo aqui é entender por que essa derivada nunca é zero, usando conhecimentos de álgebra e cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos da derivada. Temos , e . A gente precisa ver se alguma combinação desses termos pode resultar em zero para algum valor de .

Passo 3

Sabemos que qualquer número real elevado a uma potência par, como ou , sempre dá um resultado não negativo. Ou seja, e para todo real.

Passo 4

Agora, olhemos para os coeficientes. O número 101 e o 51 são positivos. Então, e também serão sempre não negativos, porque um número positivo multiplicado por um não negativo continua não negativo.

Passo 5

Se somarmos esses termos, temos:
E ainda temos o no final, então:
Ou seja, sempre será pelo menos 1, nunca chegando a zero.

Resposta

A derivada é sempre maior ou igual a 1 para todo real, portanto para qualquer em .

Exercícios relacionados