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para todo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá a derivada de uma função
, que é
, e diz que
para todo
real. Nosso objetivo aqui é entender por que essa derivada nunca é zero, usando conhecimentos de álgebra e cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos da derivada. Temos
,
e
. A gente precisa ver se alguma combinação desses termos pode resultar em zero para algum valor de
.
Passo 3
Sabemos que qualquer número real elevado a uma potência par, como
ou
, sempre dá um resultado não negativo. Ou seja,
e
para todo
real.
Passo 4
Agora, olhemos para os coeficientes. O número 101 e o 51 são positivos. Então,
e
também serão sempre não negativos, porque um número positivo multiplicado por um não negativo continua não negativo.
Passo 5
Se somarmos esses termos, temos:
E ainda temos o
no final, então:
Ou seja,
sempre será pelo menos 1, nunca chegando a zero.
Resposta
A derivada
é sempre maior ou igual a 1 para todo
real, portanto
para qualquer
em
.
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39
, então
é critico. Entretanto, como
é estritamente maior do que zero em uma vizinhança de
é sempre crescente, logo não possui máximos ou mínimos locais.
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.