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para todo

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá a derivada de uma função , que é , e diz que para todo real. Nosso objetivo aqui é entender por que essa derivada nunca é zero, usando conhecimentos de álgebra e cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos da derivada. Temos , e . A gente precisa ver se alguma combinação desses termos pode resultar em zero para algum valor de .

Passo 3

Sabemos que qualquer número real elevado a uma potência par, como ou , sempre dá um resultado não negativo. Ou seja, e para todo real.

Passo 4

Agora, olhemos para os coeficientes. O número 101 e o 51 são positivos. Então, e também serão sempre não negativos, porque um número positivo multiplicado por um não negativo continua não negativo.

Passo 5

Se somarmos esses termos, temos:
E ainda temos o no final, então:
Ou seja, sempre será pelo menos 1, nunca chegando a zero.

Resposta

A derivada é sempre maior ou igual a 1 para todo real, portanto para qualquer em .

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, então é critico. Entretanto, como é estritamente maior do que zero em uma vizinhança de é sempre crescente, logo não possui máximos ou mínimos locais.
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