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, então
é critico. Entretanto, como
é estritamente maior do que zero em uma vizinhança de
é sempre crescente, logo não possui máximos ou mínimos locais.
Passo 1
Vamos analisar a função
para encontrar seus pontos críticos e determinar se existem máximos ou mínimos locais. Para isso, vamos usar o conceito de derivada e pontos críticos na matéria de cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, identificamos a derivada da função
, que é dada por:
A derivada nos ajuda a encontrar onde a função tem inclinação zero, ou seja, onde possíveis máximos ou mínimos podem ocorrer.
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos
:
Então,
é um ponto crítico da função
.
Passo 4
Agora, precisamos verificar se esse ponto crítico é um máximo, um mínimo ou nenhum dos dois. Para isso, analisamos o sinal da derivada perto de
.
Passo 5
Observamos que
é sempre maior ou igual a zero, já que um quadrado nunca é negativo e está multiplicado por 3, que é positivo. Especificamente, para valores próximos a 5, exceto exatamente em
, a derivada é positiva:
Passo 6
Como a derivada é positiva em uma vizinhança de
, isso significa que a função
está sempre aumentando nesse intervalo. Ou seja, não há mudança na concavidade que indicaria um máximo ou mínimo local.
Resposta
Portanto, embora
seja um ponto crítico da função
, ele não corresponde a um máximo ou mínimo local, já que a função é sempre crescente próximo a esse ponto.
Exercícios relacionados
40
para todo
35
Mínimo absoluto: e Máximo absoluto:
Mínimo absoluto:
Encontre
.
Encontre
.