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Mínimo absoluto: e Máximo absoluto:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Pelo enunciado, precisamos encontrar o mínimo absoluto e o máximo absoluto da função nos pontos dados. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente a parte de derivadas para identificar esses extremos. Vamos precisar entender como aplicar a derivada para encontrar onde a função atinge seus valores máximos e mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são mínimo e máximo absolutos. O mínimo absoluto é o menor valor que a função alcança no seu domínio, e o máximo absoluto é o maior valor. Para encontrar esses pontos, geralmente seguimos esses passos:
  1. Encontrar a derivada da função .
  2. Igualar a derivada a zero para achar os pontos críticos.
  3. Analisar esses pontos críticos para determinar se são mínimos, máximos ou pontos de inflexão.
  4. Comparar os valores da função nos pontos críticos e nas extremidades do domínio (se houver) para determinar os valores absolutos.

Passo 3

Vamos supor que temos a função e queremos encontrar seus extremos absolutos. Primeiro, calculamos a derivada :
Depois, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Resolvendo essa equação, encontramos os valores de onde a função pode ter máximos ou mínimos.

Passo 4

Após encontrar os pontos críticos, precisamos determinar se cada um deles é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão. Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada:
  • Se no ponto crítico, então tem um mínimo local nesse ponto.
  • Se no ponto crítico, então tem um máximo local nesse ponto.
  • Se , o teste é inconclusivo e precisamos usar outro método.

Passo 5

Depois de identificar os pontos críticos e determinar a natureza de cada um, comparamos os valores da função nesses pontos e, se necessário, nas extremidades do domínio. O menor valor encontrado será o mínimo absoluto e o maior valor será o máximo absoluto da função.

Resposta

Seguindo esses passos, concluímos que o mínimo absoluto da função ocorre em com e o máximo absoluto ocorre em com .

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