(35 pts) Considere o sistema linear A X=B definido pelo sistema abaixo:
cc z+2 u & =0 x+y+u & =1 x+y+2 z+5 u+v & =2 x+y+4 z+9 u+3 v & =4 x+y+3 z+7 u+2 v & =3 2 x+2 u+6 z+14 u+4 v & =6
Escalone a matriz aumentada [A mid B] até obter a forma escalonada reduzida,

Passo 1

Então, galera, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos um sistema linear representado por seis equações com cinco incógnitas: , , , e . O objetivo é transformar a matriz aumentada desse sistema em uma forma escalonada reduzida. Para isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss, que nos ajuda a simplificar o sistema passo a passo até achar as soluções. Vamos precisar trabalhar com operações de linhas na matriz para chegar na forma desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & | & 0 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & | & 1 1 & 1 & 2 & 5 & 1 & | & 2 1 & 1 & 4 & 9 & 3 & | & 4 1 & 1 & 3 & 7 & 2 & | & 3 2 & 0 & 6 & 14 & 4 & | & 6 com base no sistema dado:
Aqui, cada linha representa uma equação do sistema e cada coluna, uma incógnita, com a última coluna sendo os termos independentes.

Passo 3

Vamos começar buscando um pivô na primeira coluna. O pivô é o primeiro número diferente de zero em uma coluna, que usaremos para eliminar os outros elementos dessa coluna. Olhando para a primeira coluna, vemos que a segunda linha tem um 1 na posição 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & | & 1 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & | & 0 1 & 1 & 2 & 5 & 1 & | & 2 1 & 1 & 4 & 9 & 3 & | & 4 1 & 1 & 3 & 7 & 2 & | & 3 2 & 0 & 6 & 14 & 4 & | & 6 . Vamos trocar a primeira e a segunda linha para trazer esse 1 para o topo:

Passo 4

Agora, vamos usar o pivô 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & | & 1 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & | & 0 0 & 0 & 2 & 4 & 1 & | & 1 0 & 0 & 4 & 8 & 3 & | & 3 0 & 0 & 3 & 6 & 2 & | & 2 0 & -2 & 6 & 12 & 4 & | & 4 na primeira linha para eliminar os elementos abaixo dele na primeira coluna. Fazemos isso subtraindo a primeira linha da terceira, quarta, quinta e, duas vezes, a primeira linha da sexta:
Aplicando essas operações:

Passo 5

Seguimos para a segunda coluna. Observando, notamos que os elementos abaixo do pivô na coluna 2 são todos zero, exceto na sexta linha que tem 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & | & 1 0 & -2 & 6 & 12 & 4 & | & 4 0 & 0 & 2 & 4 & 1 & | & 1 0 & 0 & 4 & 8 & 3 & | & 3 0 & 0 & 3 & 6 & 2 & | & 2 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & | & 0 . Para simplificar, vamos trocar a segunda e a sexta linha:

Passo 6

Agora, vamos tornar o pivô da segunda linha igual a 1 dividindo toda a segunda linha por R2 = R2-2 Rightarrow R2 = [0 1 -3 -6 -2 | -2] :
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & | & 1 0 & 1 & -3 & -6 & -2 & | & -2 0 & 0 & 2 & 4 & 1 & | & 1 0 & 0 & 4 & 8 & 3 & | & 3 0 & 0 & 3 & 6 & 2 & | & 2 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & | & 0
A matriz fica:

Passo 7

Vamos usar o pivô R1 = R1 - R2 Rightarrow R1 = [1 0 3 7 2 | 3] na segunda linha para eliminar o elemento acima na primeira linha. Subtraímos a segunda linha da primeira:
1 & 0 & 3 & 7 & 2 & | & 3 0 & 1 & -3 & -6 & -2 & | & -2 0 & 0 & 2 & 4 & 1 & | & 1 0 & 0 & 4 & 8 & 3 & | & 3 0 & 0 & 3 & 6 & 2 & | & 2 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & | & 0
A matriz atualizada:

Passo 8

Agora, vamos para a terceira coluna. O pivot é o R3 = R32 Rightarrow R3 = [0 0 1 2 0.5 | 0.5] na terceira linha. Vamos simplificar essa linha dividindo-a por 1 & 0 & 3 & 7 & 2 & | & 3 0 & 1 & -3 & -6 & -2 & | & -2 0 & 0 & 1 & 2 & 0.5 & | & 0.5 0 & 0 & 4 & 8 & 3 & | & 3 0 & 0 & 3 & 6 & 2 & | & 2 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & | & 0 :
A matriz fica:

Passo 9

Vamos usar o pivô R1 = [1 0 0 1 0.5 | 1.5] na terceira linha para eliminar os elementos acima e abaixo dele na coluna 3.
Primeiro, eliminamos os elementos acima:
  • R2 = [0 1 0 0 -0.5 | -0.5]
  • R4 = [0 0 0 0 1 | 1]
Aplicando:
R5 = [0 0 0 0 0.5 | 0.5]
R6 = [0 0 0 0 -0.5 | -0.5]
Agora, eliminamos os elementos abaixo do pivô na coluna 3:
  • 1 & 0 & 0 & 1 & 0.5 & | & 1.5 0 & 1 & 0 & 0 & -0.5 & | & -0.5 0 & 0 & 1 & 2 & 0.5 & | & 0.5 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0.5 & | & 0.5 0 & 0 & 0 & 0 & -0.5 & | & -0.5
Aplicando:
A matriz agora fica:

Passo 10

Agora, vamos para a quinta coluna. O pivô é o R5 = [0 0 0 0 0 | 0] na quarta linha. Vamos usá-lo para eliminar os demais elementos dessa coluna:
  • R6 = [0 0 0 0 0 | 0]
  • 1 & 0 & 0 & 1 & 0.5 & | & 1.5 0 & 1 & 0 & 0 & -0.5 & | & -0.5 0 & 0 & 1 & 2 & 0.5 & | & 0.5 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0
Aplicando:
A matriz agora está:

Passo 11

Finalmente, vamos reorganizar a matriz para que fique na forma escalonada reduzida, onde cada pivô é o único número diferente de zero na sua coluna:
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & | & 1 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & | & 0 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & | & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0

Resposta

Após escalar a matriz aumentada x + u = 1 y = 0 z + 2u = 1 v = 1 até a forma escalonada reduzida, encontramos que as soluções são:
x = 1 - u y = 0 z = 1 - 2u v = 1 u é livre
Podemos expressar as soluções em termos de , que é uma variável livre:
é

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