Determine
(a) A distância do ponto P=(1,5,-7) ao plano pi: x+2 z=9.
(b) A distância do ponto P=(3,-7,-5) ao plano pi:-3 x+2 y-z=3.
© A distância do ponto P=(2,-4,0) ao plano pi: x+y+z-5=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a distância de alguns pontos a planos específicos. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especialmente a fórmula para calcular a distância de um ponto a um plano no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar conhecer a equação do plano e as coordenadas do ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar a distância d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2 de um ponto ao plano . A fórmula é:

Passo 3

Vamos resolver a parte (a). Temos o ponto x + 2z - 9 = 0 e o plano . Primeiro, precisamos colocar a equação do plano na forma padrão .
Para isso, subtraímos 9 de ambos os lados:
Agora, identificamos os coeficientes:
  • (não tem termo )

Passo 4

Aplicando a fórmula da distância:
d = |1 cdot 1 + 0 cdot 5 + 2 cdot (-7) - 9|raiz1^2 + 0^2 + 2^2 = |1 - 14 - 9|raiz1 + 0 + 4 = |-22|raiz5 = 22raiz5 = 22raiz55

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b). O ponto é e o plano . A equação já está na forma padrão, então identificamos os coeficientes:

Passo 6

Aplicando a fórmula da distância:
d = |-3 cdot 3 + 2 cdot (-7) -1 cdot (-5) - 3|raiz(-3)^2 + 2^2 + (-1)^2 = |-9 -14 +5 -3|raiz9 + 4 + 1 = |-21|raiz14 = 21raiz14 = 21raiz1414

Passo 7

Por último, vamos resolver a parte ©. O ponto é e o plano . Já está na forma padrão, então identificamos os coeficientes:

Passo 8

Aplicando a fórmula da distância:
d = |1 cdot 2 + 1 cdot (-4) + 1 cdot 0 -5|raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = |2 -4 +0 -5|raiz1 + 1 + 1 = |-7|raiz3 = 7raiz3 = 7raiz33

Resposta

(a) A distância de ao plano é unidades.
(b) A distância de ao plano é unidades.
© A distância de ao plano é unidades.

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