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Sabemos que a derivada direcional .
(a) Mostre que a função aumenta mais rapidadmente quando é o versor de . Calcule a derivada nessa direção.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função e queremos mostrar que ela aumenta mais rapidamente na direção do vetor gradiente . Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que é dada por , onde é um versor (vetor unitário). Precisamos também calcular essa derivada nessa direção específica.
Passo 2
A derivada direcional mede a taxa de variação de na direção do vetor . Para que essa taxa seja máxima, precisamos escolher de forma que o produto escalar seja o maior possível.
Passo 3
O produto escalar pode ser escrito como , onde é o ângulo entre os vetores e .
Passo 4
Como é um versor, temos que . Portanto, a expressão simplifica para . Para maximizar essa expressão, precisamos que seja máximo, ou seja, graus. Isso ocorre quando está na mesma direção de .
Passo 5
Assim, a direção em que aumenta mais rapidamente é exatamente a direção do vetor gradiente . O versor nessa direção é dado por:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada direcional nessa direção:
Resposta
A função aumenta mais rapidamente na direção do vetor gradiente e a derivada nessa direção é igual ao módulo do gradiente, ou seja: