41
Sabemos que a derivada direcional .
(a) Mostre que a função aumenta mais rapidadmente quando é o versor de . Calcule a derivada nessa direção.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função e queremos mostrar que ela aumenta mais rapidamente na direção do vetor gradiente . Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que é dada por , onde é um versor (vetor unitário). Precisamos também calcular essa derivada nessa direção específica.

Passo 2

A derivada direcional mede a taxa de variação de na direção do vetor . Para que essa taxa seja máxima, precisamos escolher de forma que o produto escalar seja o maior possível.

Passo 3

O produto escalar pode ser escrito como , onde é o ângulo entre os vetores e .

Passo 4

Como é um versor, temos que . Portanto, a expressão simplifica para . Para maximizar essa expressão, precisamos que seja máximo, ou seja, graus. Isso ocorre quando está na mesma direção de .

Passo 5

Assim, a direção em que aumenta mais rapidamente é exatamente a direção do vetor gradiente . O versor nessa direção é dado por:

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada direcional nessa direção:

Resposta

A função aumenta mais rapidamente na direção do vetor gradiente e a derivada nessa direção é igual ao módulo do gradiente, ou seja:

Exercícios relacionados

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Calcule
onde é a região delimitada superiormente pela esfera e inferiormente pelo cône .
© Mostre que qualquer direcção ortogonal ao gradiente é uma direç̧ão de variação zero em .
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Para estimar a variação do valor de uma função quando nos movemos uma pequena distância a partir de um ponto em uma direcção específia , use a fórmula:
â
Use essa fórmula para estimar em quanto variará o valor de se o ponto se mover 0,1 unidade a partir de em direcção a .
(d) Encontre as direç̧ões nas quais :
(i) Cresce mais rapidamente no ponto ;