41
Sabemos que a derivada direcional
.
(a) Mostre que a função
aumenta mais rapidadmente quando
é o versor de
. Calcule a derivada nessa direção.
Sabemos que a derivada direcional
(a) Mostre que a função
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
e queremos mostrar que ela aumenta mais rapidamente na direção do vetor gradiente
. Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que é dada por
, onde
é um versor (vetor unitário). Precisamos também calcular essa derivada nessa direção específica.
Passo 2
A derivada direcional
mede a taxa de variação de
na direção do vetor
. Para que essa taxa seja máxima, precisamos escolher
de forma que o produto escalar
seja o maior possível.
Passo 3
O produto escalar
pode ser escrito como
, onde
é o ângulo entre os vetores
e
.
Passo 4
Como
é um versor, temos que
. Portanto, a expressão simplifica para
. Para maximizar essa expressão, precisamos que
seja máximo, ou seja,
graus. Isso ocorre quando
está na mesma direção de
.
Passo 5
Assim, a direção em que
aumenta mais rapidamente é exatamente a direção do vetor gradiente
. O versor nessa direção é dado por:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada direcional nessa direção:
Resposta
A função
aumenta mais rapidamente na direção do vetor gradiente
e a derivada nessa direção é igual ao módulo do gradiente, ou seja: