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Para estimar a variação do valor de uma função f quando nos movemos uma pequena distância d s a partir de um ponto P0 em uma direcção específia u, use a fórmula:
d f=underbrace(nabla f|P0 u) derivada direcional cdot underbraced s incremento de distância â
Use essa fórmula para estimar em quanto variará o valor de f(x, y, z)=y sen x+2 y z se o ponto P(x, y, z) se mover 0,1 unidade a partir de P0=(0,1,0) em direcção a P1(2,2,-2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa estimar como o valor da função muda quando a gente se move uma pequena distância df = (nabla f |P0 cdot u) cdot ds a partir do ponto na direção de . Para isso, vamos usar a fórmula da variação de :
Aqui, é o gradiente da função , e é o vetor direção em que vamos nos mover. Vamos precisar calcular o gradiente, encontrar a direção correta e aplicar a fórmula.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z ) em relação a cada variável:
nabla f = ( y cos x, sen x + 2z, 2y )
Calculando cada derivada:
  • nabla f |P0 = (1 cdot 1, 0 + 2 cdot 0, 2 cdot 1) = (1, 0, 2)
Assim, o gradiente fica:
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
  • , então e
Substituindo:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor direção v = P1 - P0 = (2 - 0, 2 - 1, -2 - 0) = (2, 1, -2) na qual vamos nos mover, ou seja, a direção de para .
Primeiro, vamos determinar o vetor que vai de para :
Esse é o nosso vetor direção antes de normalizar.

Passo 4

Para usar a fórmula, precisamos que |v| = raiz2^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz4 + 1 + 4 = raiz9 = 3 seja um vetor unitário, ou seja, com magnitude 1. Vamos normalizar u = v|v| = ( 23, 13, -23 ) :
Primeiro, calculamos a magnitude de :
Agora, o vetor unitário é:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar entre o gradiente nabla f |P0 cdot u = 1 cdot 23 + 0 cdot 13 + 2 cdot -23 = 23 + 0 - 43 = -23 e o vetor dire��ão :
Esse valor representa a taxa de variação de na direção escolhida.

Passo 6

Finalmente, aplicamos a fórmula para encontrar a variação df = ( -23 ) cdot 0,1 = -23 times 0,1 = -230 = -115 approx -0,0667 :

Resposta

A variação do valor de é aproximadamente .

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