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Para estimar a variação do valor de uma função quando nos movemos uma pequena distância a partir de um ponto em uma direcção específia , use a fórmula:
Use essa fórmula para estimar em quanto variará o valor de se o ponto se mover 0,1 unidade a partir de em direcção a .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa estimar como o valor da função muda quando a gente se move uma pequena distância a partir do ponto na direção de . Para isso, vamos usar a fórmula da variação de :
Aqui, é o gradiente da função , e é o vetor direção em que vamos nos mover. Vamos precisar calcular o gradiente, encontrar a direção correta e aplicar a fórmula.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação a cada variável:
Calculando cada derivada:
Assim, o gradiente fica:
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
, então e
Substituindo:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor direção na qual vamos nos mover, ou seja, a direção de para .
Primeiro, vamos determinar o vetor que vai de para :
Esse é o nosso vetor direção antes de normalizar.
Passo 4
Para usar a fórmula, precisamos que seja um vetor unitário, ou seja, com magnitude 1. Vamos normalizar :
Primeiro, calculamos a magnitude de :
Agora, o vetor unitário é:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar entre o gradiente e o vetor dire��ão :
Esse valor representa a taxa de variação de na direção escolhida.
Passo 6
Finalmente, aplicamos a fórmula para encontrar a variação :