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Para estimar a variação do valor de uma função quando nos movemos uma pequena distância a partir de um ponto em uma direcção específia , use a fórmula:
â
Use essa fórmula para estimar em quanto variará o valor de se o ponto se mover 0,1 unidade a partir de em direcção a .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa estimar como o valor da função muda quando a gente se move uma pequena distância a partir do ponto na direção de . Para isso, vamos usar a fórmula da variação de :
Aqui, é o gradiente da função , e é o vetor direção em que vamos nos mover. Vamos precisar calcular o gradiente, encontrar a direção correta e aplicar a fórmula.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação a cada variável:
Calculando cada derivada:
Assim, o gradiente fica:
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
  • , então e
Substituindo:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor direção na qual vamos nos mover, ou seja, a direção de para .
Primeiro, vamos determinar o vetor que vai de para :
Esse é o nosso vetor direção antes de normalizar.

Passo 4

Para usar a fórmula, precisamos que seja um vetor unitário, ou seja, com magnitude 1. Vamos normalizar :
Primeiro, calculamos a magnitude de :
Agora, o vetor unitário é:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar entre o gradiente e o vetor dire��ão :
Esse valor representa a taxa de variação de na direção escolhida.

Passo 6

Finalmente, aplicamos a fórmula para encontrar a variação :

Resposta

A variação do valor de é aproximadamente .

Exercícios relacionados

41
Sabemos que a derivada direcional .
(a) Mostre que a função aumenta mais rapidadmente quando é o versor de . Calcule a derivada nessa direção.
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Calcule
onde é a região delimitada superiormente pela esfera e inferiormente pelo cône .
(d) Encontre as direç̧ões nas quais :
(i) Cresce mais rapidamente no ponto ;
Encontre e :
(d) .