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No espaço euclidiano
, defina duas operações
As operações que aparecem à direita de ambas as igualdades são as usuais do
.
Quais dos axiomas de um espaço vetorial são satisfeitas por
?
No espaço euclidiano
Quais dos axiomas de um espaço vetorial são satisfeitas por
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o espaço euclidiano
com duas operações definidas de forma diferente das operações habituais:
onde
e
. Nosso objetivo é verificar quais dos axiomas de um espaço vetorial são satisfeitos por esse conjunto com essas operações.
Passo 2
Vamos revisar os axiomas de um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um corpo (nesse caso,
) deve satisfazer os seguintes axiomas:
- Fechamento da adição: Para todo
, . - Comutatividade da adição:
. - Associatividade da adição:
. - Elemento neutro da adição: Existe um vetor
tal que para todo . - Elemento inverso da adição: Para todo
, existe tal que . - Fechamento da multiplicação por escalar: Para todo
e , . - Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
. - Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
. - Associatividade da multiplicação por escalar:
. - Elemento neutro da multiplicação por escalar:
.
Vamos verificar cada um desses axiomas com as operações definidas.
Passo 3
1. Fechamento da adição
A operação
está definida como
. Como
e
estão em
, a subtração de vetores também estará em
. Portanto, o fechamento da adição é satisfeito.
2. Comutatividade da adição
Vamos verificar se
:
A menos que
,
. Portanto, a comutatividade não é satisfeita.
3. Associatividade da adição
Vamos verificar se
:
4. Elemento neutro da adição
Procuramos um vetor
tal que
:
Nesse caso, o vetor zero de
funciona como elemento neutro. Portanto, o axioma é satisfeito.
5. Elemento inverso da adição
Para cada
, precisamos de um vetor
tal que
:
Para que
, teríamos que
. Portanto, apenas o vetor zero possui um inverso na adição definida, o que não satisfaz o axioma para todo vetor. Assim, o axioma não é satisfeito.
6. Fechamento da multiplicação por escalar
A operação
está definida para todo
e
. O produto
também pertence a
. Portanto, o fechamento da multiplicação por escalar é satisfeito.
7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores
Vamos verificar se
:
Como os dois lados são iguais, a distributividade é satisfeita.
8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares
Vamos verificar se
:
A menos que
,
. Portanto, a distributividade não é satisfeita.
9. Associatividade da multiplicação por escalar
Vamos verificar se
:
A menos que
,
. Portanto, a associatividade não é satisfeita.
10. Elemento neutro da multiplicação por escalar
Vamos verificar se
:
A menos que
,
. Portanto, o elemento neutro da multiplicação por escalar não é satisfeito.
Resposta
O conjunto
satisfaz apenas os axiomas de fechamento da adição, fechamento da multiplicação por escalar, elemento neutro da adição, e a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores.