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No espaço euclidiano R^n, defina duas operações
u oplus v & =u-v, forall u, v in R^n k u & =-k u, forall k in R e u in R^n
As operações que aparecem à direita de ambas as igualdades são as usuais do R^n.
Quais dos axiomas de um espaço vetorial são satisfeitas por (R^n, oplus, cdot) ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o espaço euclidiano R^n com duas operações definidas de forma diferente das operações habituais:
u oplus v & = u - v, k cdot u & = -k u,
onde u, v in R^n e k in R. Nosso objetivo é verificar quais dos axiomas de um espaço vetorial são satisfeitos por esse conjunto com essas operações.

Passo 2

Vamos revisar os axiomas de um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um corpo (nesse caso, R) deve satisfazer os seguintes axiomas:
  1. Fechamento da adição: Para todo u, v in V, u oplus v in V.
  2. Comutatividade da adição: u oplus v = v oplus u.
  3. Associatividade da adição: (u oplus v) oplus w = u oplus (v oplus w).
  4. Elemento neutro da adição: Existe um vetor 0 in V tal que u oplus 0 = u para todo u in V.
  5. Elemento inverso da adição: Para todo u in V, existe -u in V tal que u oplus (-u) = 0.
  6. Fechamento da multiplicação por escalar: Para todo k in R e u in V, k cdot u in V.
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: k cdot (u oplus v) = k cdot u oplus k cdot v.
  8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: (k + l) cdot u = k cdot u oplus l cdot u.
  9. Associatividade da multiplicação por escalar: k cdot (l cdot u) = (k l) cdot u.
  10. Elemento neutro da multiplicação por escalar: 1 cdot u = u.
Vamos verificar cada um desses axiomas com as operações definidas.

Passo 3

1. Fechamento da adição
A operação oplus está definida como u oplus v = u - v. Como u e v estão em R^n, a subtração de vetores também estará em R^n. Portanto, o fechamento da adição é satisfeito.
2. Comutatividade da adição
Vamos verificar se u oplus v = v oplus u:
u oplus v = u - v v oplus u = v - u
A menos que u = v, u - v neq v - u. Portanto, a comutatividade não é satisfeita.
3. Associatividade da adição
Vamos verificar se (u oplus v) oplus w = u oplus (v oplus w):
(u oplus v) oplus w = (u - v) - w = u - v - w u oplus (v oplus w) = u - (v - w) = u - v + w
u - v - w neq u - v + w a menos que w = 0. Portanto, a associatividade não é satisfeita.
4. Elemento neutro da adição
Procuramos um vetor 0 tal que u oplus 0 = u:
u oplus 0 = u - 0 = u
Nesse caso, o vetor zero de R^n funciona como elemento neutro. Portanto, o axioma é satisfeito.
5. Elemento inverso da adição
Para cada u, precisamos de um vetor -u tal que u oplus (-u) = 0:
u oplus (-u) = u - (-u) = u + u = 2u
Para que 2u = 0, teríamos que u = 0. Portanto, apenas o vetor zero possui um inverso na adição definida, o que não satisfaz o axioma para todo vetor. Assim, o axioma não é satisfeito.
6. Fechamento da multiplicação por escalar
A operação k cdot u = -k u está definida para todo k in R e u in R^n. O produto -k u também pertence a R^n. Portanto, o fechamento da multiplicação por escalar é satisfeito.
7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores
Vamos verificar se k cdot (u oplus v) = k cdot u oplus k cdot v:
k cdot (u oplus v) = k cdot (u - v) = -k(u - v) = -k u + k v k cdot u oplus k cdot v = (-k u) oplus (-k v) = (-k u) - (-k v) = -k u + k v
Como os dois lados são iguais, a distributividade é satisfeita.
8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares
Vamos verificar se (k + l) cdot u = k cdot u oplus l cdot u:
(k + l) cdot u = -(k + l)u = -k u - l u k cdot u oplus l cdot u = (-k u) oplus (-l u) = (-k u) - (-l u) = -k u + l u
A menos que l u = 0, -k u - l u neq -k u + l u. Portanto, a distributividade não é satisfeita.
9. Associatividade da multiplicação por escalar
Vamos verificar se k cdot (l cdot u) = (k l) cdot u:
k cdot (l cdot u) = k cdot (-l u) = -k (-l u) = k l u (k l) cdot u = -(k l) u = -k l u
A menos que k l u = 0, k l u neq -k l u. Portanto, a associatividade não é satisfeita.
10. Elemento neutro da multiplicação por escalar
Vamos verificar se 1 cdot u = u:
1 cdot u = -1 u = -u
A menos que u = 0, -u neq u. Portanto, o elemento neutro da multiplicação por escalar não é satisfeito.

Resposta

O conjunto (R^n, oplus, cdot) satisfaz apenas os axiomas de fechamento da adição, fechamento da multiplicação por escalar, elemento neutro da adição, e a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores.

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