Seja lambda in R. Mostre que P=(4 ; 1 ;-1) não pertence a reta r: X=(2 ; 4 ; 1)+lambda(-2 ; 1 ; 0) e obtenha uma equação geral do plano determinado por P e r.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: precisamos mostrar que o ponto não está na reta definida por . Além disso, precisamos encontrar uma equação geral do plano determinado por esse ponto e pela reta . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas e planos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o ponto x = 2 - 2lambda y = 4 + lambda z = 1 + 0lambda = 1 está na reta 4 = 2 - 2lambda 1 = 4 + lambda -1 = 1 . Para isso, vamos tentar encontrar um valor de que faça satisfazer as equações da reta.
A reta é parametrizada por:
Para , vamos igualar as coordenadas:
Vamos resolver cada equação:
  1. Da primeira equação:
  2. Da segunda equação:
  3. Da terceira equação: ➔ Isso é impossível!
Já que a terceira equação não é verdadeira, não existe um valor de que satisfaça todas as três equações simultaneamente. Portanto, o ponto não está na reta .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a equação geral do plano determinado pelo ponto v times u = i & j & k -2 & 1 & 0 2 & -3 & -2 = i(1 cdot (-2) - 0 cdot (-3)) - j((-2) cdot (-2) - 0 cdot 2) + k((-2) cdot (-3) - 1 cdot 2) e pela reta = i(-2) - j(4) + k(6 - 2) = (-2, -4, 4) . Para isso, precisamos de:
  1. Um ponto no plano: podemos usar .
  2. Dois vetores direcionais no plano:
    • O vetor diretor da reta , que é .
    • O vetor que vai de um ponto na reta até o ponto . Vamos pegar o ponto inicial da reta e formar o vetor .
Para determinar a equação do plano, precisamos encontrar um vetor normal ao plano, que pode ser obtido pelo produto vetorial dos vetores e .
Calculando o produto vetorial :
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por -2: .

Passo 4

Com o vetor normal nx(x - x0) + ny(y - y0) + nz(z - z0) = 0 e o ponto 1(x - 4) + 2(y - 1) - 2(z + 1) = 0 , a equação geral do plano pode ser escrita usando a fórmula:
x - 4 + 2y - 2 - 2z - 2 = 0
Substituindo os valores:
x + 2y - 2z - 8 = 0

Resposta

O ponto x + 2y - 2z = 8 não pertence à reta . A equação geral do plano determinado por e é:

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