Seja . Mostre que não pertence a reta e obtenha uma equação geral do plano determinado por e .
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: precisamos mostrar que o ponto não está na reta definida por . Além disso, precisamos encontrar uma equação geral do plano determinado por esse ponto e pela reta . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas e planos no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o ponto está na reta . Para isso, vamos tentar encontrar um valor de que faça satisfazer as equações da reta.
A reta é parametrizada por:
Para , vamos igualar as coordenadas:
Vamos resolver cada equação:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Da terceira equação: ➔ Isso é impossível!
Já que a terceira equação não é verdadeira, não existe um valor de que satisfaça todas as três equações simultaneamente. Portanto, o ponto não está na reta .
Passo 3
Agora, vamos encontrar a equação geral do plano determinado pelo ponto v times u = i & j & k -2 & 1 & 0 2 & -3 & -2 = i(1 cdot (-2) - 0 cdot (-3)) - j((-2) cdot (-2) - 0 cdot 2) + k((-2) cdot (-3) - 1 cdot 2) e pela reta = i(-2) - j(4) + k(6 - 2) = (-2, -4, 4) . Para isso, precisamos de:
Um ponto no plano: podemos usar .
Dois vetores direcionais no plano:
O vetor diretor da reta , que é .
O vetor que vai de um ponto na reta até o ponto . Vamos pegar o ponto inicial da reta e formar o vetor .
Para determinar a equação do plano, precisamos encontrar um vetor normal ao plano, que pode ser obtido pelo produto vetorial dos vetores e .
Calculando o produto vetorial :
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por -2: .
Passo 4
Com o vetor normal nx(x - x0) + ny(y - y0) + nz(z - z0) = 0 e o ponto 1(x - 4) + 2(y - 1) - 2(z + 1) = 0 , a equação geral do plano pode ser escrita usando a fórmula:
x - 4 + 2y - 2 - 2z - 2 = 0
Substituindo os valores:
x + 2y - 2z - 8 = 0
Resposta
O ponto x + 2y - 2z = 8 não pertence à reta . A equação geral do plano determinado por e é: