Calcule u distüncia entre oponto P(1,-2,3) e plano contendo o ponto A(0,1,-1) e paralelo aos vetoren u=(0,2,-1) e |=(-1,0,1), n+0^t cdot v^n=(0,2,1) cdot(-,, 0, n) =(0,0,-1)

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um problema de geometria analítica. Precisamos calcular a distância entre um ponto específico e um plano que passa por outro ponto e é paralelo a dois vetores dados e . Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a equação de um plano e depois usar a fórmula de distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar um vetor normal ao plano. Um vetor normal é perpendicular ao plano e vai nos ajudar a escrever a equação do plano. Para isso, usamos o produto vetorial dos vetores que são paralelos ao plano. Ou seja, vamos calcular .

Passo 3

Calculando o produto vetorial:
u times v = i & j & k 0 & 2 & -1 -1 & 0 & 1
= i(2 cdot 1 - (-1) cdot 0) - j(0 cdot 1 - (-1) cdot (-1)) + k(0 cdot 0 - 2 cdot (-1))
= i(2 - 0) - j(0 - 1) + k(0 + 2)
= 2i + j + 2k
Então, o vetor normal é .

Passo 4

Agora que temos o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 , podemos escrever a equação do plano. A equação geral de um plano é:
2(x - 0) + 1(y - 1) + 2(z + 1) = 0
Onde 2x + y - 1 + 2z + 2 = 0 são as componentes do vetor normal e 2x + y + 2z + 1 = 0 é um ponto no plano, que nesse caso é .
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 5

Agora vamos usar a fórmula para calcular a distância D = |a x1 + b y1 + c z1 + d|raiza^2 + b^2 + c^2 entre um ponto e um plano :
Nosso ponto é e a equação do plano é . Então, , , e .

Passo 6

Substituindo na fórmula:
D = |2 cdot 1 + 1 cdot (-2) + 2 cdot 3 + 1|raiz2^2 + 1^2 + 2^2
D = |2 - 2 + 6 + 1|raiz4 + 1 + 4
D = |7|raiz9
D = 73

Resposta

A distância entre o ponto e o plano é unidades.

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