Considere as retas
r: x-32--1-y3, z=2 ::lll x= & -1 & +t y & 4 & -2 t z & -8 & +1
a) Mostur que as retas r e x shào reversis
ees theta=|ui| yi mid|ui| mid uz mid

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para mostrar que as retas e são reversas. Isso está dentro da matéria de Geometria Analítica, onde a gente analisa propriedades das retas no espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender as equações das retas, identificar seus vetores diretores e verificar se elas são paralelas ou se cruzam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações das retas. A reta r: x-32 = -1-y3, z=2 está dada por:
x = -1 + t y = 4 - 2t z = -8 + 1
E a reta x = -1 + t y = 4 - 2t z = -8 + t está parametrizada por:
Vamos reescrever a reta de forma mais clara. Parece que há um pequeno erro no , provavelmente seria . Então, a parametrização fica:

Passo 3

Agora, vamos identificar os vetores diretores de cada reta. Para a reta x-32 = -1-y3, z=2 , observando a equação simétrica:
ux = (1, -2, 1)
O vetor diretor de é .
Para a reta , pela parametrização:

Passo 4

Vamos verificar se as retas são paralelas. Para isso, os vetores diretores precisam ser proporcionais, ou seja, existe um escalar ur = k ux tal que:
2 = k cdot 1 Rightarrow k = 2 -3 = k cdot (-2) Rightarrow -3 = -2k Rightarrow k = 32
Comparando os componentes:
Como não é o mesmo para todos os componentes, as retas não são paralelas.

Passo 5

Como as retas não são paralelas, precisamos verificar se elas se intersectam. Para isso, igualamos as equações das retas e tentamos encontrar um valor de x-32 = -1-y3, z=2 que satisfaça ambas.
Para a reta x = 3 + 2t y = -1 - 3t z = 2 :
x = -1 + t' y = 4 - 2t' z = -8 + t'
Vamos parametrizar -1 - 3t = 4 - 2(4 + 2t) -1 - 3t = 4 - 8 -4t -1 - 3t = -4 -4t -t = -3 t = 3 . Seja zr = 2 zx = -8 + t' = -8 + (4 + 2 cdot 3) = -8 +10 = 2 o parâmetro:
Para a reta :
Vamos igualar , e :
  1. substituindo :
  1. Verificando :

Passo 6

Encontramos x = 3 + 2 cdot 3 = 9 y = -1 -3 cdot 3 = -10 z = 2 e x = -1 +10 =9 y = 4 -2 cdot10 = -16 z = -8 +10 =2 . Vamos verificar os pontos:
Para reta :
Para reta :
Os valores de e coincidem, mas o é diferente ( ). Ou seja, as retas não se intersectam.

Resposta

Como as retas e não são paralelas e não se intersectam, elas são reversas.

Exercícios relacionados