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Seja W o subespaço vetorial de R^4 determinado pelas soluções do sistema linear A x=0 onde
A=(llll 3 & 0 & -1 & -1 0 & 1 & -1 & -2 )
Determine uma base de W. Se T: R^4 R^2 é dada por x mapsto A x, qual a relação entre W e T ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um subespaço vetorial de definido pelas soluções do sistema linear . O conteúdo principal aqui é Espaços Vetoriais e Sistemas Lineares. Vamos precisar usar o método de resolução de sistemas lineares para encontrar as soluções que formam e, depois, entender como esse subespaço se relaciona com a transformação linear .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema linear A = 3 & 0 & -1 & -1 0 & 1 & -1 & -2 de forma mais clara. A matriz x = x1 x2 x3 x4 é:
3x1 + 0x2 - x3 - x4 = 0 0x1 + x2 - x3 - 2x4 = 0
E o vetor é:
Então, o sistema fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar as soluções x3 = 3x1 - x4 . O objetivo é expressar algumas variáveis em termos de outras para identificar uma base para x2 - (3x1 - x4) - 2x4 = 0 x2 - 3x1 + x4 - 2x4 = 0 x2 - 3x1 - x4 = 0 .
Vamos reescrever as equações:
  1. x2 = 3x1 + x4 \
    Podemos isolar x3 = 3x1 - x4 x2 = 3x1 + x4 :
  2. \
    Substituindo da primeira equação:
    Isolando :
Então, temos:
Isso significa que e são variáveis livres, ou seja, podemos atribuir qualquer valor a elas e determinar e com base nesses valores.

Passo 4

Para encontrar uma base para x = x1 3x1 + x4 3x1 - x4 x4 = x1 1 3 3 0 + x4 0 1 -1 1 , vamos expressar 1 3 3 0 em termos das variáveis livres 0 1 -1 1 e :
Isso mostra que todo vetor em pode ser escrito como combinação linear dos vetores e . Como esses vetores são linearmente independentes, eles formam uma base para .

Passo 5

Agora, sobre a transformação linear definida por .
O subespaço é exatamente o conjunto de todos os vetores que são levados ao vetor zero por . Isso significa que é o núcleo (ou kernel) da transformação linear .
Na teoria, o núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que envia para o vetor zero. Portanto, .

Resposta

Uma base de 1 3 3 0 e 0 1 -1 1 é formada pelos vetores
Além disso, é o núcleo da transformação linear , ou seja, . Isso significa que contém todos os vetores de que são mapeados para o vetor zero em pela transformação .

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