Responda se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta. Se A e B são matrizes invertíveis de mesma ordem, então A+B é invertível.

Passo 1

Então, temos o seguinte problema: “Se e são matrizes invertíveis de mesma ordem, então é invertível.” Vamos trabalhar com o conteúdo de matrizes invertíveis e propriedades das operações com matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser invertível e como a soma de matrizes se comporta em relação à invertibilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz invertível. Uma matriz M cdot M^-1 = M^-1 cdot M = I é invertível se existe outra matriz tal que:
onde é a matriz identidade.
Agora, mesmo que duas matrizes e sejam invertíveis individualmente, isso não garante que a soma delas, , também seja invertível. A invertibilidade da soma depende das propriedades específicas das matrizes envolvidas.

Passo 3

Vamos analisar um exemplo para entender melhor. Suponha que A + B = I + (-I) = 0 (a matriz identidade) e . Ambas são claramente invertíveis, pois a inversa de é ela mesma, e a inversa de é .
Calculando a soma:
A matriz resultante é a matriz nula, que não é invertível porque não existe uma matriz que multiplicada por ela resulte na matriz identidade.

Resposta

Falsa. Mesmo que e sejam matrizes invertíveis de mesma ordem, a soma nem sempre é invertível.

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