Responda se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta. Se
e
são matrizes invertíveis de mesma ordem, então
é invertível.
Passo 1
Então, temos o seguinte problema: “Se
e
são matrizes invertíveis de mesma ordem, então
é invertível.” Vamos trabalhar com o conteúdo de matrizes invertíveis e propriedades das operações com matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser invertível e como a soma de matrizes se comporta em relação à invertibilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz invertível. Uma matriz
é invertível se existe outra matriz
tal que:
onde
é a matriz identidade.
Agora, mesmo que duas matrizes
e
sejam invertíveis individualmente, isso não garante que a soma delas,
, também seja invertível. A invertibilidade da soma depende das propriedades específicas das matrizes envolvidas.
Passo 3
Vamos analisar um exemplo para entender melhor. Suponha que
(a matriz identidade) e
. Ambas são claramente invertíveis, pois a inversa de
é ela mesma, e a inversa de
é
.
Calculando a soma:
A matriz resultante é a matriz nula, que não é invertível porque não existe uma matriz que multiplicada por ela resulte na matriz identidade.
Resposta
Falsa. Mesmo que
e
sejam matrizes invertíveis de mesma ordem, a soma
nem sempre é invertível.