Enunciar o Teorema Fundamental de Laplace. (Citar a referência usada)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente enunciar o Teorema Fundamental de Laplace. Isso está ligado ao conteúdo de transformadas de Laplace, que é uma ferramenta muito útil em matemática aplicada e engenharia para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a transformada de Laplace e qual é o teorema fundamental que a envolve.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. É uma integral que transforma uma função do tempo
em uma função do número complexo
, denotada por
. Essa transformação facilita a resolução de equações diferenciais, convertendo-as em equações algébricas mais fáceis de resolver.
Passo 3
Agora, sobre o Teorema Fundamental de Laplace. Ele basicamente afirma que, sob certas condições, existe uma relação inversa entre a transformada de Laplace e a função original. Isso significa que podemos recuperar a função
a partir de sua transformada
.
Passo 4
Vamos formalizar isso. O teorema diz que se
é a transformada de Laplace de
, então:
Isso quer dizer que existe uma transformada inversa de Laplace que nos permite voltar para o domínio do tempo.
Passo 5
Além disso, o teorema estabelece condições de existência, garantindo que se
é uma função de crescimento exponencialmente limitado, contínua por pedaços no intervalo
, então sua transformada de Laplace
existe para todo
maior que um certo valor.
Resposta
O Teorema Fundamental de Laplace estabelece que, para uma função
de crescimento exponencialmente limitado e contínua por pedaços para
, existe uma transformada de Laplace
definida por:
E que a função original pode ser recuperada pela transformada inversa:
Referência: Anton, H. (2005). Cálculo Multivariável. São Paulo: LTC.