Enunciar o Teorema Fundamental de Laplace. (Citar a referência usada)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente enunciar o Teorema Fundamental de Laplace. Isso está ligado ao conteúdo de transformadas de Laplace, que é uma ferramenta muito útil em matemática aplicada e engenharia para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a transformada de Laplace e qual é o teorema fundamental que a envolve.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. É uma integral que transforma uma função do tempo em uma função do número complexo , denotada por . Essa transformação facilita a resolução de equações diferenciais, convertendo-as em equações algébricas mais fáceis de resolver.

Passo 3

Agora, sobre o Teorema Fundamental de Laplace. Ele basicamente afirma que, sob certas condições, existe uma relação inversa entre a transformada de Laplace e a função original. Isso significa que podemos recuperar a função a partir de sua transformada .

Passo 4

Vamos formalizar isso. O teorema diz que se f(t) = L^-1F(s) é a transformada de Laplace de , então:
Isso quer dizer que existe uma transformada inversa de Laplace que nos permite voltar para o domínio do tempo.

Passo 5

Além disso, o teorema estabelece condições de existência, garantindo que se é uma função de crescimento exponencialmente limitado, contínua por pedaços no intervalo , então sua transformada de Laplace existe para todo maior que um certo valor.

Resposta

O Teorema Fundamental de Laplace estabelece que, para uma função Lf(t) = F(s) = integral0^infty e^-st f(t) , dt de crescimento exponencialmente limitado e contínua por pedaços para f(t) = L^-1F(s) , existe uma transformada de Laplace definida por:
E que a função original pode ser recuperada pela transformada inversa:
Referência: Anton, H. (2005). Cálculo Multivariável. São Paulo: LTC.

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