Determine as medidas dos eixos real e imaginário e as coordenadas dos focos das hipérboles de equações:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação de uma hipérbole:
. Nosso objetivo aqui é descobrir as medidas dos eixos real e imaginário dessa hipérbole e também as coordenadas dos seus focos. Para isso, vamos usar algumas fórmulas da geometria analítica relacionadas às hipérboles.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da equação geral da hipérbole. A forma padrão de uma hipérbole horizontal é
. Comparando com a nossa equação, vemos que:
-
, então . -
, então .
Passo 3
Agora, o que são esses
e
? O
representa a medida do eixo real, que é a distância dos vértices ao centro da hipérbole ao longo do eixo x. Já o
representa a medida do eixo imaginário, que está relacionada à abertura da hipérbole ao longo do eixo y.
Passo 4
Para encontrar os focos da hipérbole, precisamos calcular o valor de
, que é a distância do centro aos focos. A relação entre
,
e
é dada por:
Substituindo os valores que encontramos:
Então,
Passo 5
Com o valor de
, podemos determinar as coordenadas dos focos. Para uma hipérbole horizontal, os focos estão localizados a
unidades à direita e à esquerda do centro ao longo do eixo x. Como o centro da nossa hipérbole é na origem
, os focos serão:
Resposta
- Eixo real:
unidades - Eixo imaginário:
unidades - Focos:
e