Determine as medidas dos eixos real e imaginário e as coordenadas dos focos das hipérboles de equações: x^24-y^23=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação de uma hipérbole: . Nosso objetivo aqui é descobrir as medidas dos eixos real e imaginário dessa hipérbole e também as coordenadas dos seus focos. Para isso, vamos usar algumas fórmulas da geometria analítica relacionadas às hipérboles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da equação geral da hipérbole. A forma padrão de uma hipérbole horizontal é . Comparando com a nossa equação, vemos que:
  • , então .
  • , então .

Passo 3

Agora, o que são esses e ? O representa a medida do eixo real, que é a distância dos vértices ao centro da hipérbole ao longo do eixo x. Já o representa a medida do eixo imaginário, que está relacionada à abertura da hipérbole ao longo do eixo y.

Passo 4

Para encontrar os focos da hipérbole, precisamos calcular o valor de c^2 = a^2 + b^2 , que é a distância do centro aos focos. A relação entre c^2 = 4 + 3 = 7 , c = raiz7 e é dada por:
Substituindo os valores que encontramos:
Então,

Passo 5

Com o valor de (raiz7, 0) e (-raiz7, 0) , podemos determinar as coordenadas dos focos. Para uma hipérbole horizontal, os focos estão localizados a unidades à direita e à esquerda do centro ao longo do eixo x. Como o centro da nossa hipérbole é na origem , os focos serão:

Resposta

  • Eixo real: unidades
  • Eixo imaginário: unidades
  • Focos: e

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