1. Calcular a área da região delimitada pela elipse x = 3 cos(t) y = sen(t).

Passo 1

Beleza, vamos calcular a área da região que é delimitada por uma elipse definida pelas equações paramétricas:
Esse problema está relacionado ao estudo de Geometria Analítica, mais especificamente sobre curvas parametrizadas e cálculo de áreas. Para resolver, vamos usar cálculo integral, aplicando a fórmula da área para parametrizações.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma curva parametrizada. Se temos as equações e , a área delimitada pela curva é dada por:
Onde é a derivada de em relação a .

Passo 3

Vamos identificar as funções e do nosso problema:
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Substituindo na fórmula da área:
Note que estamos integrando de a porque uma elipse completa se desenha nesse intervalo.

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral . Sabemos que:
Então,
Calculando as integrais:
Portanto:
Como área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:

Resposta

A área da região delimitada pela elipse é unidades de área.

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