- Calcular a área da região delimitada pela elipse
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a área da região que é delimitada por uma elipse definida pelas equações paramétricas:
Esse problema está relacionado ao estudo de Geometria Analítica, mais especificamente sobre curvas parametrizadas e cálculo de áreas. Para resolver, vamos usar cálculo integral, aplicando a fórmula da área para parametrizações.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma curva parametrizada. Se temos as equações
e
, a área
delimitada pela curva é dada por:
Onde
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos identificar as funções
e
do nosso problema:
Agora, vamos calcular
:
Passo 4
Substituindo na fórmula da área:
Note que estamos integrando de
a
porque uma elipse completa se desenha nesse intervalo.
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral
. Sabemos que:
Então,
Calculando as integrais:
Portanto:
Como área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
Resposta
A área da região delimitada pela elipse é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Dada a função
:
(b) Conforme fazemos P se aproximar de -1 a taxa de variação média atinge um valor-limite. Determine este valor-limite.
(b) Conforme fazemos P se aproximar de -1 a taxa de variação média atinge um valor-limite. Determine este valor-limite.
Nos exercícios 1 a 14, encontrar o comprimento de arco da curva dada.
14. , de
até
14.
Nos exercícios 01. a 10., determine e represente graficamente o domínio da função.
8.
8.
Determine o valor dos seguintes limites:
§ .
§