Dada a função f(x) = x^3 + 1 :
(b) Conforme fazemos P se aproximar de -1 a taxa de variação média atinge um valor-limite. Determine este valor-limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função e nos pede para encontrar o limite da taxa de variação média quando se aproxima de . Isso está relacionado ao cálculo de derivadas, que estuda como uma função muda em um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a taxa de variação média e depois encontrar o limite quando se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a taxa de variação média. Ela mede quanto a função muda em média entre dois pontos. Matemáticamente, isso é dado por:
çãé
Aqui, e são dois pontos próximos na função.

Passo 3

No nosso caso, queremos que se aproxime de . Para simplificar, vamos considerar , onde é um pequeno incremento que tende a zero. Assim, quando se aproxima de zero, se aproxima de .

Passo 4

Substituindo e na fórmula da taxa de variação média, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular e :

Passo 6

Substituindo esses valores na expressão da taxa de variação média:

Passo 7

Vamos expandir :
Portanto:

Passo 8

Simplificando a expressão dividindo cada termo por :

Passo 9

Agora, queremos encontrar o limite dessa expressão quando tende a zero:

Resposta

O valor-limite da taxa de variação média quando se aproxima de é 3.

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