Dada a função
:
(b) Conforme fazemos P se aproximar de -1 a taxa de variação média atinge um valor-limite. Determine este valor-limite.
(b) Conforme fazemos P se aproximar de -1 a taxa de variação média atinge um valor-limite. Determine este valor-limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função
e nos pede para encontrar o limite da taxa de variação média quando
se aproxima de
. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas, que estuda como uma função muda em um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a taxa de variação média e depois encontrar o limite quando
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a taxa de variação média. Ela mede quanto a função
muda em média entre dois pontos. Matemáticamente, isso é dado por:
Aqui,
e
são dois pontos próximos na função.
Passo 3
No nosso caso, queremos que
se aproxime de
. Para simplificar, vamos considerar
, onde
é um pequeno incremento que tende a zero. Assim, quando
se aproxima de zero,
se aproxima de
.
Passo 4
Substituindo
e
na fórmula da taxa de variação média, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular
e
:
Passo 6
Substituindo esses valores na expressão da taxa de variação média:
Passo 7
Vamos expandir
:
Portanto:
Passo 8
Simplificando a expressão dividindo cada termo por
:
Passo 9
Agora, queremos encontrar o limite dessa expressão quando
tende a zero:
Resposta
O valor-limite da taxa de variação média quando
se aproxima de
é 3.
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