Nos exercícios 1 a 14, encontrar o comprimento de arco da curva dada.
14.
, de
até
14.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco da curva
que vai do ponto
até
. Isso envolve um pouco de cálculo, mais especificamente a fórmula de comprimento de arco para curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da curva para facilitar o trabalho. A equação dada é
. Podemos expressar
em função de
:
Passo 3
Para encontrar o comprimento do arco, usamos a fórmula:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
. Vamos calcular essa derivada.
Passo 4
Derivando
em relação a
:
Passo 5
Agora, substituímos
na fórmula do comprimento do arco:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 7
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição:
Quando
,
; e quando
,
.
Passo 8
Substituindo na integral:
Passo 9
Integrando
:
Então,
Passo 10
Calculando os valores:
Então,
Resposta
O comprimento do arco da curva
de
até
é aproximadamente 9,07 unidades.
Exercícios relacionados
Nos exercícios 1 a 14, encontrar o comprimento de arco da curva dada.
9.
9.
Dada a função
:
(a) Calcule a taxa média de variação da função no intervalo , com
.
(a) Calcule a taxa média de variação da função no intervalo
Dada a função
:
(b) Conforme fazemos P se aproximar de -1 a taxa de variação média atinge um valor-limite. Determine este valor-limite.
(b) Conforme fazemos P se aproximar de -1 a taxa de variação média atinge um valor-limite. Determine este valor-limite.
- Calcular a área da região delimitada pela elipse
.