Nos exercícios 1 a 14, encontrar o comprimento de arco da curva dada.
14. x^2 = y^3, de P0(0,0) até P1(8,4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco da curva que vai do ponto até . Isso envolve um pouco de cálculo, mais especificamente a fórmula de comprimento de arco para curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da curva para facilitar o trabalho. A equação dada é . Podemos expressar em função de :

Passo 3

Para encontrar o comprimento do arco, usamos a fórmula:
Aqui, é a derivada de em relação a . Vamos calcular essa derivada.

Passo 4

Derivando em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula do comprimento do arco:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 7

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição:
Quando , ; e quando , .

Passo 8

Substituindo na integral:

Passo 9

Integrando :
Então,

Passo 10

Calculando os valores:
Então,

Resposta

O comprimento do arco da curva de até é aproximadamente 9,07 unidades.

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