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No espaço euclidiano
, defina duas operações
As operações que aparecem à direita de ambas as igualdades são as usuais do
.
Quais dos axiomas de um espaço vetorial são satisfeitas por
?
No espaço euclidiano
Quais dos axiomas de um espaço vetorial são satisfeitas por
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que trabalha com o espaço euclidiano
e define duas operações novas: uma para “adição” e outra para multiplicação por escalar. O que a gente precisa descobrir é quais dos axiomas de um espaço vetorial são cumpridos por esse conjunto com essas operações. Para resolver isso, vamos revisar os axiomas de um espaço vetorial e verificar um por um se eles são atendidos por essas definições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são os axiomas de um espaço vetorial. Eles incluem:
- Comutatividade da adição:
. - Associatividade da adição:
. - Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero tal que
. - Elemento inverso da adição: Para todo
, existe tal que . - Compatibilidade da multiplicação por escalar:
. - Elemento neutro da multiplicação por escalar:
. - Distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
. - Distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
.
Vamos verificar cada um desses axiomas com as operações dadas:
e
.
Passo 3
1. Comutatividade da adição:
Vamos verificar se
.
Em geral,
, a menos que
. Portanto, a comutatividade não é satisfeita.
Passo 4
2. Associatividade da adição:
Verificamos se
.
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Como
em geral, a associatividade não é satisfeita.
Passo 5
3. Elemento neutro da adição:
Existe um vetor zero tal que
?
Vamos tentar encontrar esse zero:
Portanto, o vetor zero do espaço usual
funciona aqui como elemento neutro.
Passo 6
4. Elemento inverso da adição:
Para todo
, existe
tal que
?
Vamos verificar:
Para que
, teríamos que
. Portanto, a menos que
seja o vetor zero, não existe um inverso para a adição definida.
Passo 7
5. Compatibilidade da multiplicação por escalar:
Verificamos se
.
Usando a definição:
E
Como
, essa propriedade é satisfeita.
Passo 8
6. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
Verificamos se
.
Usando a definição:
Para que
, precisaríamos que
. Portanto, essa propriedade só é satisfeita para o vetor zero, não para todos os vetores em
.
Passo 9
7. Distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
Verificamos se
.
Calculando cada lado:
E
Como ambos são iguais, essa propriedade é satisfeita.
Passo 10
8. Distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Verificamos se
.
Calculando cada lado:
E
Para que
, precisaríamos que
, o que implica
, ou seja,
, o que só é verdade se
. Portanto, essa propriedade não é satisfeita em geral.
Resposta
Com base na análise, os axiomas satisfeitos por
são:
- Elemento neutro da adição
- Compatibilidade da multiplicação por escalar
- Distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores
Os demais axiomas não são satisfeitos por essa estrutura.
Exercícios relacionados
Verifique, em cada um dos itens abaixo, se
.
(b) ,
.
(b)
Mostre que os polinômios
e
formam uma base de
. Exprima o polinômio
como uma combinação linear desses polinômios.
Verifique se o subconjunto
é um subespaço vetorial do espaço vetorial
. Considere as operações em
como sendo as operações usuais:
.
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Determine se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais (sobre ).
(i) , e
.
Determine se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais (sobre
(i)