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No espaço euclidiano R^n, defina duas operações
u oplus v & =u-v, forall u, v in R^n k u & =-k u, forall k in R e u in R^n
As operações que aparecem à direita de ambas as igualdades são as usuais do R^n.
Quais dos axiomas de um espaço vetorial são satisfeitas por (R^n, oplus, cdot) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que trabalha com o espaço euclidiano R^n e define duas operações novas: uma para “adição” e outra para multiplicação por escalar. O que a gente precisa descobrir é quais dos axiomas de um espaço vetorial são cumpridos por esse conjunto com essas operações. Para resolver isso, vamos revisar os axiomas de um espaço vetorial e verificar um por um se eles são atendidos por essas definições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são os axiomas de um espaço vetorial. Eles incluem:
  1. Comutatividade da adição: u oplus v = v oplus u.
  2. Associatividade da adição: (u oplus v) oplus w = u oplus (v oplus w).
  3. Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero tal que u oplus 0 = u.
  4. Elemento inverso da adição: Para todo u, existe -u tal que u oplus (-u) = 0.
  5. Compatibilidade da multiplicação por escalar: a(bu) = (ab)u.
  6. Elemento neutro da multiplicação por escalar: 1u = u.
  7. Distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: a(u oplus v) = au oplus av.
  8. Distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: (a + b)u = au oplus bu.
Vamos verificar cada um desses axiomas com as operações dadas: u oplus v = u - v e k cdot u = -k u.

Passo 3

1. Comutatividade da adição:
Vamos verificar se u oplus v = v oplus u.
u oplus v = u - v
v oplus u = v - u
Em geral, u - v neq v - u, a menos que u = v. Portanto, a comutatividade não é satisfeita.

Passo 4

2. Associatividade da adição:
Verificamos se (u oplus v) oplus w = u oplus (v oplus w).
Calculando o lado esquerdo:
(u oplus v) oplus w = (u - v) oplus w = (u - v) - w = u - v - w
Calculando o lado direito:
u oplus (v oplus w) = u oplus (v - w) = u - (v - w) = u - v + w
Como u - v - w neq u - v + w em geral, a associatividade não é satisfeita.

Passo 5

3. Elemento neutro da adição:
Existe um vetor zero tal que u oplus 0 = u?
Vamos tentar encontrar esse zero:
u oplus 0 = u - 0 = u
Portanto, o vetor zero do espaço usual R^n funciona aqui como elemento neutro.

Passo 6

4. Elemento inverso da adição:
Para todo u, existe -u tal que u oplus (-u) = 0?
Vamos verificar:
u oplus (-u) = u - (-u) = u + u = 2u
Para que 2u = 0, teríamos que u = 0. Portanto, a menos que u seja o vetor zero, não existe um inverso para a adição definida.

Passo 7

5. Compatibilidade da multiplicação por escalar:
Verificamos se a(bu) = (ab)u.
Usando a definição:
a(bu) = a(-b u) = -a b u
E (ab)u = -(ab)u
Como -a b u = -(ab)u, essa propriedade é satisfeita.

Passo 8

6. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
Verificamos se 1u = u.
Usando a definição:
1u = -1 u = -u
Para que -u = u, precisaríamos que u = 0. Portanto, essa propriedade só é satisfeita para o vetor zero, não para todos os vetores em R^n.

Passo 9

7. Distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
Verificamos se a(u oplus v) = au oplus av.
Calculando cada lado:
a(u oplus v) = a(u - v) = -a(u - v) = -a u + a v
E
au oplus av = (-a u) oplus (-a v) = (-a u) - (-a v) = -a u + a v
Como ambos são iguais, essa propriedade é satisfeita.

Passo 10

8. Distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Verificamos se (a + b)u = au oplus bu.
Calculando cada lado:
(a + b)u = -(a + b)u
E
au oplus bu = (-a u) oplus (-b u) = (-a u) - (-b u) = -a u + b u
Para que -(a + b)u = -a u + b u, precisaríamos que -(a + b)u = (-a + b)u, o que implica -a - b = -a + b, ou seja, -b = b, o que só é verdade se b = 0. Portanto, essa propriedade não é satisfeita em geral.

Resposta

Com base na análise, os axiomas satisfeitos por (R^n, oplus, cdot) são:
  1. Elemento neutro da adição
  2. Compatibilidade da multiplicação por escalar
  3. Distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores
Os demais axiomas não são satisfeitos por essa estrutura.

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