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No espaço euclidiano , defina duas operações
As operações que aparecem à direita de ambas as igualdades são as usuais do .
Quais dos axiomas de um espaço vetorial são satisfeitas por ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que trabalha com o espaço euclidiano e define duas operações novas: uma para “adição” e outra para multiplicação por escalar. O que a gente precisa descobrir é quais dos axiomas de um espaço vetorial são cumpridos por esse conjunto com essas operações. Para resolver isso, vamos revisar os axiomas de um espaço vetorial e verificar um por um se eles são atendidos por essas definições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são os axiomas de um espaço vetorial. Eles incluem:
  1. Comutatividade da adição: .
  2. Associatividade da adição: .
  3. Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero tal que .
  4. Elemento inverso da adição: Para todo , existe tal que .
  5. Compatibilidade da multiplicação por escalar: .
  6. Elemento neutro da multiplicação por escalar: .
  7. Distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: .
  8. Distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: .
Vamos verificar cada um desses axiomas com as operações dadas: e .

Passo 3

1. Comutatividade da adição:
Vamos verificar se .
Em geral, , a menos que . Portanto, a comutatividade não é satisfeita.

Passo 4

2. Associatividade da adição:
Verificamos se .
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Como em geral, a associatividade não é satisfeita.

Passo 5

3. Elemento neutro da adição:
Existe um vetor zero tal que ?
Vamos tentar encontrar esse zero:
Portanto, o vetor zero do espaço usual funciona aqui como elemento neutro.

Passo 6

4. Elemento inverso da adição:
Para todo , existe tal que ?
Vamos verificar:
Para que , teríamos que . Portanto, a menos que seja o vetor zero, não existe um inverso para a adição definida.

Passo 7

5. Compatibilidade da multiplicação por escalar:
Verificamos se .
Usando a definição:
E
Como , essa propriedade é satisfeita.

Passo 8

6. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
Verificamos se .
Usando a definição:
Para que , precisaríamos que . Portanto, essa propriedade só é satisfeita para o vetor zero, não para todos os vetores em .

Passo 9

7. Distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
Verificamos se .
Calculando cada lado:
E
Como ambos são iguais, essa propriedade é satisfeita.

Passo 10

8. Distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Verificamos se .
Calculando cada lado:
E
Para que , precisaríamos que , o que implica , ou seja, , o que só é verdade se . Portanto, essa propriedade não é satisfeita em geral.

Resposta

Com base na análise, os axiomas satisfeitos por são:
  1. Elemento neutro da adição
  2. Compatibilidade da multiplicação por escalar
  3. Distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores
Os demais axiomas não são satisfeitos por essa estrutura.

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