Verifique, em cada um dos itens abaixo, se .
(b) , .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se no espaço vetorial . Isso está no campo da Álgebra Linear, especificamente sobre a soma direta de subespaços. Para resolver, vamos precisar entender o que são subespaços, soma direta e como verificar se dois subespaços formam uma soma direta que cobre todo o espaço .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa . Isso quer dizer que todo vetor em pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de e um vetor de . Para isso acontecer, duas condições precisam ser atendidas:
Soma Completa: A soma dos subespaços deve ser igual a , ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como , onde e .
Interseção Trivial: A única coisa que e têm em comum é o vetor zero, ou seja, .
Passo 3
Vamos começar verificando a soma completa. Precisamos ver se qualquer vetor pode ser escrito como , onde satisfaz e satisfaz .
Isso se traduz em:
com as restrições:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema para ver se sempre conseguimos encontrar e para qualquer . Vamos expressar e em termos de e :
Da equação de :
Da equação de :
Agora, substituímos e nas equações de soma:
Passo 5
Agora, vamos resolver esse sistema. Primeiro, da primeira equação:
Da segunda equação:
Substituindo e na terceira equação:
Expandindo:
Juntando termos semelhantes:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 2:
Isso mostra que podemos escolher e de forma a satisfazer essa equação para qualquer . Portanto, a soma cobre todo .
Passo 6
Agora, vamos verificar a interseção trivial . Isso significa que o único vetor que pertence tanto a quanto a é o vetor zero.
Para encontrar essa interseção, resolvemos o sistema:
Somando as duas equações:
Substituindo na segunda equação:
Então, os vetores na interseção são:
Para que a interseção seja apenas o zero, a única solução é , o que dá e . Logo, .