Verifique, em cada um dos itens abaixo, se V=U oplus W.
(b) V=R^3, U=(x, y, z) in R^3: 2 x+3 y-z=0, W=(x, y, z) in R^3: x-y+z=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se no espaço vetorial . Isso está no campo da Álgebra Linear, especificamente sobre a soma direta de subespaços. Para resolver, vamos precisar entender o que são subespaços, soma direta e como verificar se dois subespaços formam uma soma direta que cobre todo o espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Isso quer dizer que todo vetor em pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de e um vetor de . Para isso acontecer, duas condições precisam ser atendidas:
  1. Soma Completa: A soma dos subespaços deve ser igual a , ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como , onde e .
  2. Interseção Trivial: A única coisa que e têm em comum é o vetor zero, ou seja, .

Passo 3

Vamos começar verificando a soma completa. Precisamos ver se qualquer vetor ux + wx = a uy + wy = b uz + wz = c pode ser escrito como 2ux + 3uy - uz = 0 wx - wy + wz = 0 , onde satisfaz e satisfaz .
Isso se traduz em:
com as restrições:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema para ver se sempre conseguimos encontrar 2ux + 3uy = uz e wz = -wx + wy para qualquer ux + wx = a uy + wy = b 2ux + 3uy + (-wx + wy) = c . Vamos expressar e em termos de e :
Da equação de :
Da equação de :
Agora, substituímos e nas equações de soma:

Passo 5

Agora, vamos resolver esse sistema. Primeiro, da primeira equação:
ux = a - wx
Da segunda equação:
uy = b - wy
Substituindo 2(a - wx) + 3(b - wy) - wx + wy = c e 2a - 2wx + 3b - 3wy - wx + wy = c na terceira equação:
2a + 3b - 3wy + wy - 2wx - wx = c
Expandindo:
2a + 3b - 2wx - 2wy = c
Juntando termos semelhantes:
wx + wy = 2a + 3b - c2
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 2:
Isso mostra que podemos escolher e de forma a satisfazer essa equação para qualquer . Portanto, a soma cobre todo .

Passo 6

Agora, vamos verificar a interseção trivial 2x + 3y - z = 0 x - y + z = 0 . Isso significa que o único vetor que pertence tanto a 3x + 2y = 0 implies 3x = -2y implies x = -23y quanto a -23y - y + z = 0 implies -53y + z = 0 implies z = 53y é o vetor zero.
Para encontrar essa interseção, resolvemos o sistema:
(-23y, y, 53y) = y (-23, 1, 53)
Somando as duas equações:
Substituindo na segunda equação:
Então, os vetores na interseção são:
Para que a interseção seja apenas o zero, a única solução é , o que dá e . Logo, .

Resposta

Sim, em .

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