Verifique se o subconjunto
é um subespaço vetorial do espaço vetorial
. Considere as operações em
como sendo as operações usuais:
.
Passo 1
Então, a gente tem que verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. A matéria aqui é sobre espaços vetoriais e subespaços. Para resolver isso, vamos precisar verificar três coisas básicas: se
contém o vetor zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se
contém o vetor zero. O vetor zero em
é
. Se a gente colocar
e
na definição de
, temos:
Então,
contém o vetor zero.
Passo 3
Agora, vamos checar se
é fechado sob adição. Isso quer dizer que se pegar dois vetores quaisquer de
e somar eles, o resultado também tem que estar em
. Vamos pegar dois vetores
e
de
:
Esse resultado ainda está na forma
, onde
e
. Então,
é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se a gente pegar qualquer vetor de
e multiplicar por um número real qualquer, o resultado também deve estar em
. Seja
um número real e
um vetor de
:
Esse vetor ainda está na forma
, onde
e
. Então,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Sim, o subconjunto
é um subespaço vetorial de
.
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.
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.
(b) ,
.
(b)
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(i) , e
.
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(i)
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e
, em que
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, onde
.