Verifique se o subconjunto é um subespaço vetorial do espaço vetorial . Considere as operações em como sendo as operações usuais: .

Passo 1

Então, a gente tem que verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de . A matéria aqui é sobre espaços vetoriais e subespaços. Para resolver isso, vamos precisar verificar três coisas básicas: se contém o vetor zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se contém o vetor zero. O vetor zero em é . Se a gente colocar e na definição de , temos:
Então, contém o vetor zero.

Passo 3

Agora, vamos checar se é fechado sob adição. Isso quer dizer que se pegar dois vetores quaisquer de e somar eles, o resultado também tem que estar em . Vamos pegar dois vetores e de :
Esse resultado ainda está na forma , onde e . Então, é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos verificar se é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se a gente pegar qualquer vetor de e multiplicar por um número real qualquer, o resultado também deve estar em . Seja um número real e um vetor de :
Esse vetor ainda está na forma , onde e . Então, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, o subconjunto é um subespaço vetorial de .

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37
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