Verifique se o subconjunto W é um subespaço vetorial do espaço vetorial V. Considere as operações em V como sendo as operações usuais: V=R^4, W=(x, x, y, y): x, y in R.

Passo 1

Então, a gente tem que verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de . A matéria aqui é sobre espaços vetoriais e subespaços. Para resolver isso, vamos precisar verificar três coisas básicas: se contém o vetor zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se (x, x, y, y) = (0, 0, 0, 0) contém o vetor zero. O vetor zero em é . Se a gente colocar e na definição de , temos:
Então, contém o vetor zero.

Passo 3

Agora, vamos checar se (x1, x1, y1, y1) + (x2, x2, y2, y2) = (x1 + x2, x1 + x2, y1 + y2, y1 + y2) é fechado sob adição. Isso quer dizer que se pegar dois vetores quaisquer de e somar eles, o resultado também tem que estar em . Vamos pegar dois vetores e de :
Esse resultado ainda está na forma , onde e . Então, é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos verificar se c cdot (x, x, y, y) = (c x, c x, c y, c y) é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se a gente pegar qualquer vetor de e multiplicar por um número real qualquer, o resultado também deve estar em . Seja um número real e um vetor de :
Esse vetor ainda está na forma , onde e . Então, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, o subconjunto é um subespaço vetorial de .

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