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Determine se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais (sobre R ).
(i) S=(x1, x2, x3, x4) in R^4 ; x1=2 x2, x2+4 x4=0, e 4 x2+x3=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para gente descobrir se o conjunto S = (x1, x2, x3, x4) in R^4 ; x1=2x2, x2+4x4=0, e 4x2+x3=0 é um subespaço vetorial de . Vamos trabalhar com as condições que definem :
Para verificar se é um subespaço vetorial, precisamos confirmar três coisas:
  1. O vetor zero está em .
  2. é fechado sob adição.
  3. é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos checar se o vetor zero está em x1 = 2x2 Rightarrow 0 = 2 times 0 (Verdade) . O vetor zero em x2 + 4x4 = 0 + 4 times 0 = 0 (Verdade) é 4x2 + x3 = 4 times 0 + 0 = 0 (Verdade) . Vamos ver se ele satisfaz todas as condições:
Então, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se u1 = 2u2, u2 + 4u4 = 0, 4u2 + u3 = 0 é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer v1 = 2v2, v2 + 4v4 = 0, 4v2 + v3 = 0 e (u1+v1) = 2(u2+v2) (Verdade, pois u1=2u2 e v1=2v2) em (u2+v2) + 4(u4+v4) = (u2 + 4u4) + (v2 + 4v4) = 0 + 0 = 0 , a soma 4(u2+v2) + (u3+v3) = (4u2 + u3) + (4v2 + v3) = 0 + 0 = 0 também deve estar em .
Como e estão em , elas satisfazem:
Vamos verificar se satisfaz:
Então, também está em .

Passo 4

Por último, vamos ver se u1 = 2u2, u2 + 4u4 = 0, 4u2 + u3 = 0 é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se cu1 = 2(cu2) (Verdade, pois u1=2u2) está em cu2 + 4(cu4) = c(u2 + 4u4) = c times 0 = 0 e 4(cu2) + cu3 = c(4u2 + u3) = c times 0 = 0 é um escalar real, então também deve estar em .
Sabemos que satisfaz:
Vamos verificar as condições para :
Então, também está em .

Resposta

Como o conjunto contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço vetorial de .

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