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Determine se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais (sobre
).
(i)
, e
.
Determine se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais (sobre
(i)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para gente descobrir se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Vamos trabalhar com as condições que definem
:
Para verificar se
é um subespaço vetorial, precisamos confirmar três coisas:
- O vetor zero está em
. -
é fechado sob adição. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos checar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele satisfaz todas as condições:
Então, o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer
e
em
, a soma
também deve estar em
.
Como
e
estão em
, elas satisfazem:
Vamos verificar se
satisfaz:
Então,
também está em
.
Passo 4
Por último, vamos ver se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se
está em
e
é um escalar real, então
também deve estar em
.
Sabemos que
satisfaz:
Vamos verificar as condições para
:
Então,
também está em
.
Resposta
Como o conjunto
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.