Mostre que os polinômios p1(x)=1, p2(x)=1+x e p3(x)=-1+x+2 x^2 formam uma base de P2. Exprima o polinômio 1+8 x+7 x^2 como uma combinação linear desses polinômios.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que os polinômios , e formam uma base do espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. Além disso, precisamos expressar o polinômio como uma combinação linear desses polinômios. Para isso, vamos precisar entender conceitos de bases, combinação linear e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores (neste caso, polinômios) que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Isso significa que qualquer polinômio de pode ser escrito como uma combinação linear desses três polinômios.

Passo 3

Para mostrar que , e são uma base, precisamos verificar duas coisas: se eles são linearmente independentes e se eles geram .

Passo 4

Começando pela independência linear, vamos considerar a equação:
c1p1(x) + c2p2(x) + c3p3(x) = 0
Substituindo os polinômios:
c1(1) + c2(1 + x) + c3(-1 + x + 2x^2) = 0

Passo 5

Distribuindo os coeficientes:
c1 + c2 + c3(-1) + c2x + c3x + c32x^2 = 0
Agrupando os termos semelhantes:
(c1 + c2 - c3) + (c2 + c3)x + 2c3x^2 = 0

Passo 6

Para que essa igualdade seja válida para todo c1 + c2 - c3 = 0 c2 + c3 = 0 2c3 = 0 , os coeficientes de cada potência de devem ser zero:
Resolvendo o sistema, começamos da última equação.

Passo 7

Da terceira equação:
2c3 = 0 implies c3 = 0
Substituindo c2 + 0 = 0 implies c2 = 0 na segunda equação:
c1 + 0 - 0 = 0 implies c1 = 0
Finalmente, substituindo e na primeira equação:
Como a única solução é trivial, os polinômios são linearmente independentes.

Passo 8

Agora, como temos três polinômios linearmente independentes em , que tem dimensão 3, esses polinômios formam uma base de .

Passo 9

Vamos agora expressar o polinômio 1 + 8x + 7x^2 = a cdot p1(x) + b cdot p2(x) + c cdot p3(x) como uma combinação linear dos polinômios 1 + 8x + 7x^2 = a(1) + b(1 + x) + c(-1 + x + 2x^2) , e :
Substituindo os polinômios:

Passo 10

Distribuindo os coeficientes:
1 + 8x + 7x^2 = a + b + (-c) + b x + c x + 2c x^2
Agrupando os termos semelhantes:
1 + 8x + 7x^2 = (a + b - c) + (b + c)x + 2c x^2

Passo 11

Igualando os coeficientes de cada potência de a + b - c = 1 b + c = 8 2c = 7 :
Resolvendo o sistema, começamos pela última equação.

Passo 12

Da terceira equação:
2c = 7 implies c = 72
Substituindo b + 72 = 8 implies b = 8 - 72 = 92 na segunda equação:
a + 92 - 72 = 1 implies a + 1 = 1 implies a = 0
Finalmente, substituindo e na primeira equação:

Resposta

O polinômio 1 + 8x + 7x^2 = 0 cdot p1(x) + 92 cdot p2(x) + 72 cdot p3(x) pode ser escrito como:

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