Mostre que os polinômios e formam uma base de . Exprima o polinômio como uma combinação linear desses polinômios.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que os polinômios , e formam uma base do espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. Além disso, precisamos expressar o polinômio como uma combinação linear desses polinômios. Para isso, vamos precisar entender conceitos de bases, combinação linear e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores (neste caso, polinômios) que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Isso significa que qualquer polinômio de pode ser escrito como uma combinação linear desses três polinômios.
Passo 3
Para mostrar que , e são uma base, precisamos verificar duas coisas: se eles são linearmente independentes e se eles geram .
Passo 4
Começando pela independência linear, vamos considerar a equação:
Substituindo os polinômios:
Passo 5
Distribuindo os coeficientes:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 6
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser zero:
Resolvendo o sistema, começamos da última equação.
Passo 7
Da terceira equação:
Substituindo na segunda equação:
Finalmente, substituindo e na primeira equação:
Como a única solução é trivial, os polinômios são linearmente independentes.
Passo 8
Agora, como temos três polinômios linearmente independentes em , que tem dimensão 3, esses polinômios formam uma base de .
Passo 9
Vamos agora expressar o polinômio como uma combinação linear dos polinômios , e :
Substituindo os polinômios:
Passo 10
Distribuindo os coeficientes:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 11
Igualando os coeficientes de cada potência de :
Resolvendo o sistema, começamos pela última equação.