Mostre que os polinômios e formam uma base de . Exprima o polinômio como uma combinação linear desses polinômios.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que os polinômios , e formam uma base do espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. Além disso, precisamos expressar o polinômio como uma combinação linear desses polinômios. Para isso, vamos precisar entender conceitos de bases, combinação linear e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores (neste caso, polinômios) que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Isso significa que qualquer polinômio de pode ser escrito como uma combinação linear desses três polinômios.
Passo 3
Para mostrar que , e são uma base, precisamos verificar duas coisas: se eles são linearmente independentes e se eles geram .
Passo 4
Começando pela independência linear, vamos considerar a equação:
Substituindo os polinômios:
Passo 5
Distribuindo os coeficientes:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 6
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser zero:
Resolvendo o sistema, começamos da última equação.
Passo 7
Da terceira equação:
2c3 = 0 implies c3 = 0
Substituindo c2 + 0 = 0 implies c2 = 0 na segunda equação:
c1 + 0 - 0 = 0 implies c1 = 0
Finalmente, substituindo e na primeira equação:
Como a única solução é trivial, os polinômios são linearmente independentes.
Passo 8
Agora, como temos três polinômios linearmente independentes em , que tem dimensão 3, esses polinômios formam uma base de .
Passo 9
Vamos agora expressar o polinômio 1 + 8x + 7x^2 = a cdot p1(x) + b cdot p2(x) + c cdot p3(x) como uma combinação linear dos polinômios 1 + 8x + 7x^2 = a(1) + b(1 + x) + c(-1 + x + 2x^2) , e :
Substituindo os polinômios:
Passo 10
Distribuindo os coeficientes:
1 + 8x + 7x^2 = a + b + (-c) + b x + c x + 2c x^2
Agrupando os termos semelhantes:
1 + 8x + 7x^2 = (a + b - c) + (b + c)x + 2c x^2
Passo 11
Igualando os coeficientes de cada potência de a + b - c = 1 b + c = 8 2c = 7 :
Resolvendo o sistema, começamos pela última equação.
Passo 12
Da terceira equação:
2c = 7 implies c = 72
Substituindo b + 72 = 8 implies b = 8 - 72 = 92 na segunda equação:
a + 92 - 72 = 1 implies a + 1 = 1 implies a = 0
Finalmente, substituindo e na primeira equação:
Resposta
O polinômio 1 + 8x + 7x^2 = 0 cdot p1(x) + 92 cdot p2(x) + 72 cdot p3(x) pode ser escrito como: