Mostre que os polinômios e formam uma base de . Exprima o polinômio como uma combinação linear desses polinômios.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que os polinômios , e formam uma base do espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. Além disso, precisamos expressar o polinômio como uma combinação linear desses polinômios. Para isso, vamos precisar entender conceitos de bases, combinação linear e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores (neste caso, polinômios) que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Isso significa que qualquer polinômio de pode ser escrito como uma combinação linear desses três polinômios.

Passo 3

Para mostrar que , e são uma base, precisamos verificar duas coisas: se eles são linearmente independentes e se eles geram .

Passo 4

Começando pela independência linear, vamos considerar a equação:
Substituindo os polinômios:

Passo 5

Distribuindo os coeficientes:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 6

Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser zero:
Resolvendo o sistema, começamos da última equação.

Passo 7

Da terceira equação:
Substituindo na segunda equação:
Finalmente, substituindo e na primeira equação:
Como a única solução é trivial, os polinômios são linearmente independentes.

Passo 8

Agora, como temos três polinômios linearmente independentes em , que tem dimensão 3, esses polinômios formam uma base de .

Passo 9

Vamos agora expressar o polinômio como uma combinação linear dos polinômios , e :
Substituindo os polinômios:

Passo 10

Distribuindo os coeficientes:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 11

Igualando os coeficientes de cada potência de :
Resolvendo o sistema, começamos pela última equação.

Passo 12

Da terceira equação:
Substituindo na segunda equação:
Finalmente, substituindo e na primeira equação:

Resposta

O polinômio pode ser escrito como:

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