- Mostre que a solução geral de
pode ser escrita como
Determine a solução que satisfaz as condições iniciais
. Por que é conveniente usar as soluções cosh
e senh
, em vez de
e
?
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
e determinar a solução que satisfaz as condições iniciais dadas. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais de ordem superior e suas soluções gerais envolvendo funções trigonométricas e hiperbólicas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea
. Para resolver isso, vamos encontrar as raízes da equação característica associada.
Passo 3
A equação característica é obtida substituindo
na equação diferencial:
Passo 4
Resolvendo a equação característica
, temos:
Isso nos dá duas raízes reais
e
, e duas raízes complexas
e
.
Passo 5
Com essas raízes, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das funções correspondentes a cada raiz:
No entanto, para facilitar os cálculos com coeficientes reais, podemos reescrever a solução usando funções hiperbólicas
e
:
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
:
Passo 7
Calculamos as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Passo 8
Aplicamos as condições iniciais:
Para
:
Primeira derivada em
:
Segunda derivada em
:
Terceira derivada em
:
Passo 9
Agora, resolvemos o sistema de equações:
Da Equação 1:
Da Equação 2:
Substituindo
na Equação 3:
Logo,
.
Substituindo
na Equação 4:
Logo,
.
Passo 10
Substituindo os valores das constantes na solução geral:
Resposta
A solução que satisfaz as condições iniciais é:
É conveniente usar as funções
e
em vez de
e
porque elas permitem expressar a solução de forma real e simplificada, evitando o uso de números complexos e facilitando a aplicação das condições iniciais.