1. Mostre que a solução geral de y^(4) - y = 0 pode ser escrita como
y = c1 cos(t) + c2 sen(t) + c3 cosh(t) + c4 senh(t)
Determine a solução que satisfaz as condições iniciais y(0)=0, y'(0)=0, y''(0)=1, y'''(0)=1. Por que é conveniente usar as soluções cosh t e senh t, em vez de e^t e e^(-t) ?

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a solução geral da equação diferencial e determinar a solução que satisfaz as condições iniciais dadas. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais de ordem superior e suas soluções gerais envolvendo funções trigonométricas e hiperbólicas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea . Para resolver isso, vamos encontrar as raízes da equação característica associada.

Passo 3

A equação característica é obtida substituindo na equação diferencial:

Passo 4

Resolvendo a equação característica , temos:
Isso nos dá duas raízes reais e , e duas raízes complexas e .

Passo 5

Com essas raízes, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das funções correspondentes a cada raiz:
No entanto, para facilitar os cálculos com coeficientes reais, podemos reescrever a solução usando funções hiperbólicas e :

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e :

Passo 7

Calculamos as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:

Passo 8

Aplicamos as condições iniciais:
Para :
çã
Primeira derivada em :
çã
Segunda derivada em :
çã
Terceira derivada em :
çã

Passo 9

Agora, resolvemos o sistema de equações:
Da Equação 1:
Da Equação 2:
Substituindo na Equação 3:
Logo, .
Substituindo na Equação 4:
Logo, .

Passo 10

Substituindo os valores das constantes na solução geral:

Resposta

A solução que satisfaz as condições iniciais é:
É conveniente usar as funções e em vez de e porque elas permitem expressar a solução de forma real e simplificada, evitando o uso de números complexos e facilitando a aplicação das condições iniciais.

Exercícios relacionados