Em cada um dos problemas de 11 a 28, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
20.
20.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de quarta ordem:
. O que isso significa é que queremos encontrar a solução geral para
que satisfaz essa equação. Para isso, vamos usar o método das equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, que nos ajuda a encontrar soluções para equações desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à nossa equação diferencial. A equação característica é uma maneira de transformar a equação diferencial em uma equação algébrica que podemos resolver para encontrar os valores de
. Substituímos
por
, então temos:
Passo 3
Agora, precisamos resolver a equação característica
. Vamos fatorar essa expressão para encontrar as raízes:
Isso nos dá duas partes para resolver:
-
-
, que simplifica para
Passo 4
Vamos resolver
. Tirando a raiz cúbica dos dois lados, encontramos:
Então, uma das raízes é
. Além disso, para uma equação cúbica como
, temos uma única raiz real e duas raízes complexas. As raízes complexas são
(repetida) e as outras duas podem ser encontradas usando a fórmula das raízes de uma equação cúbica.
Passo 5
No entanto, para simplificar, já que temos
e
como raízes reais, podemos considerar que nossa solução geral será uma combinação dessas soluções. Como temos uma equação de quarta ordem, precisamos de quatro soluções independentes. Assim, a solução geral será:
onde
e
são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais, se forem fornecidas.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Exercícios relacionados
Encontre o fluxo do campo vetorial
através da superfície
na direção dada por um campo dos vetores normais
:
Encontre o fluxo do campo vetorial
através da superfície
na direção dada por um campo dos vetores normais
:
- Mostre que a solução geral de
pode ser escrita como
Determine a solução que satisfaz as condições iniciais
. Por que é conveniente usar as soluções cosh
e senh
, em vez de
e
?
Um taque de água é enchido de acordo com a
, onde
é o volume de água (em litros) no tanque após thoras. Calcule o limite
.