Em cada um dos problemas de 11 a 28, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
20. y^(4) - 8 y' = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de quarta ordem: . O que isso significa é que queremos encontrar a solução geral para que satisfaz essa equação. Para isso, vamos usar o método das equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, que nos ajuda a encontrar soluções para equações desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à nossa equação diferencial. A equação característica é uma maneira de transformar a equação diferencial em uma equação algébrica que podemos resolver para encontrar os valores de . Substituímos por , então temos:

Passo 3

Agora, precisamos resolver a equação característica . Vamos fatorar essa expressão para encontrar as raízes:
Isso nos dá duas partes para resolver:
  1. , que simplifica para

Passo 4

Vamos resolver . Tirando a raiz cúbica dos dois lados, encontramos:
Então, uma das raízes é . Além disso, para uma equação cúbica como , temos uma única raiz real e duas raízes complexas. As raízes complexas são (repetida) e as outras duas podem ser encontradas usando a fórmula das raízes de uma equação cúbica.

Passo 5

No entanto, para simplificar, já que temos e como raízes reais, podemos considerar que nossa solução geral será uma combinação dessas soluções. Como temos uma equação de quarta ordem, precisamos de quatro soluções independentes. Assim, a solução geral será:
onde e são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais, se forem fornecidas.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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