1. Considere a equação .
    (a) Use a fórmula de Abel [Problema 20(d) da Seção 4.1] para encontrar o wronskiano de um conjunto fundamental de soluções da equação dada.
    (b) Determine o wronskiano das soluções e sen .
    © Determine o wronskiano das soluções e sen .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de quarta ordem: . Isso significa que a derivada quarta da função menos igual a zero. O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais lineares de ordem superior e o conceito de Wronskiano, que ajuda a verificar a independência linear das soluções. Além disso, vamos usar a fórmula de Abel para calcular o Wronskiano de um conjunto fundamental de soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Wronskiano. O Wronskiano é uma matriz construída a partir das soluções de uma equação diferencial e suas derivadas. Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto, as soluções são linearmente independentes nesse ponto. Para uma equação diferencial de ordem , precisamos de soluções para formar o Wronskiano.

Passo 3

Agora, vamos usar a Fórmula de Abel. Essa fórmula nos dá uma maneira de calcular o Wronskiano sem precisar construir toda a matriz. A fórmula é:
Onde é o coeficiente da derivada de ordem na equação diferencial.

Passo 4

Vamos aplicar isso à nossa equação . Primeiro, precisamos escrever a equação na forma padrão:
Aqui, o coeficiente da derivada terceira ( ) é 0. Então, a fórmula de Abel simplifica para:
Isso significa que o Wronskiano é constante ao longo de .

Passo 5

Para encontrar o valor dessa constante, podemos calcular o Wronskiano em um ponto conveniente, por exemplo, . Mas, na verdade, sem as soluções explícitas, sabemos que para equações homogêneas com coeficientes constantes, o Wronskiano de um conjunto fundamental de soluções é constante. Portanto, o Wronskiano é constante para toda .

Passo 6

Resposta da letra (a): O Wronskiano de um conjunto fundamental de soluções da equação é uma constante não nula.

Passo 7

Agora, vamos para a letra (b). Precisamos determinar o Wronskiano das soluções , , e .
Primeiro, listamos as soluções:

Passo 8

Vamos construir o Wronskiano com essas soluções. Lembrando que para quatro funções, o Wronskiano é uma matriz onde cada linha é uma função e suas derivadas até a terceira ordem:

Passo 9

Calculando esse determinante é trabalhoso, mas já sabemos pela letra (a) que o Wronskiano deve ser uma constante. Vamos calcular em para facilitar:
Calculando esse determinante, obtemos .
Como o Wronskiano é constante, para todo .

Passo 10

Resposta da letra (b): O Wronskiano das soluções , , e é constante e igual a .

Passo 11

Por fim, vamos para a letra ©. Precisamos determinar o Wronskiano das soluções , , e .
Primeiro, listamos as soluções:

Passo 12

Vamos construir o Wronskiano com essas soluções:

Passo 13

Assim como na letra (b), calcularemos em para simplificar:
Calculando esse determinante, obtemos .
Como o Wronskiano é constante, para todo .

Passo 14

Resposta da letra ©: O Wronskiano das soluções , , e é constante e igual a .

Resposta

Concluímos que, para a equação :
a) O Wronskiano de um conjunto fundamental de soluções é uma constante não nula.
b) O Wronskiano das soluções , , e é .
c) O Wronskiano das soluções , , e também é .

Exercícios relacionados

Um taque de água é enchido de acordo com a , onde é o volume de água (em litros) no tanque após thoras. Calcule o limite .
  1. Mostre que a solução geral de pode ser escrita como
Determine a solução que satisfaz as condições iniciais . Por que é conveniente usar as soluções cosh e senh , em vez de e ?
Calcule os seguintes limites:
Calcule as integrais em coordenadas cilíndricas nos exercícios 1-6.