Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de quarta ordem: . Isso significa que a derivada quarta da função menos igual a zero. O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais lineares de ordem superior e o conceito de Wronskiano, que ajuda a verificar a independência linear das soluções. Além disso, vamos usar a fórmula de Abel para calcular o Wronskiano de um conjunto fundamental de soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Wronskiano. O Wronskiano é uma matriz construída a partir das soluções de uma equação diferencial e suas derivadas. Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto, as soluções são linearmente independentes nesse ponto. Para uma equação diferencial de ordem , precisamos de soluções para formar o Wronskiano.
Passo 3
Agora, vamos usar a Fórmula de Abel. Essa fórmula nos dá uma maneira de calcular o Wronskiano sem precisar construir toda a matriz. A fórmula é:
Onde é o coeficiente da derivada de ordem na equação diferencial.
Passo 4
Vamos aplicar isso à nossa equação . Primeiro, precisamos escrever a equação na forma padrão:
Aqui, o coeficiente da derivada terceira () é 0. Então, a fórmula de Abel simplifica para:
Isso significa que o Wronskiano é constante ao longo de .
Passo 5
Para encontrar o valor dessa constante, podemos calcular o Wronskiano em um ponto conveniente, por exemplo, . Mas, na verdade, sem as soluções explícitas, sabemos que para equações homogêneas com coeficientes constantes, o Wronskiano de um conjunto fundamental de soluções é constante. Portanto, o Wronskiano é constante para toda .
Passo 6
Resposta da letra (a): O Wronskiano de um conjunto fundamental de soluções da equação é uma constante não nula.
Passo 7
Agora, vamos para a letra (b). Precisamos determinar o Wronskiano das soluções , , e .
Primeiro, listamos as soluções:
Passo 8
Vamos construir o Wronskiano com essas soluções. Lembrando que para quatro funções, o Wronskiano é uma matriz onde cada linha é uma função e suas derivadas até a terceira ordem:
Passo 9
Calculando esse determinante é trabalhoso, mas já sabemos pela letra (a) que o Wronskiano deve ser uma constante. Vamos calcular em para facilitar:
Calculando esse determinante, obtemos .
Como o Wronskiano é constante, para todo .
Passo 10
Resposta da letra (b): O Wronskiano das soluções , , e é constante e igual a .