Encontre o fluxo do campo vetorial
através da superfície
na direção dada por um campo dos vetores normais
:
é a exterior.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície
, que é uma esfera de raio
. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Vectorial, especificamente o Teorema da Divergência. Esse teorema nos ajuda a transformar a integral de superfície em uma integral de volume, o que geralmente facilita os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo mede quanta “força” do campo atravessa a superfície. Matematicamente, é representado por:
Onde:
-
é o campo vetorial. -
é o vetor normal à superfície . -
é o elemento de área na superfície.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema da Divergência, que diz que o fluxo do campo vetorial através de uma superfície fechada
é igual à integral da divergência de
sobre o volume
delimitado por
:
Isso simplifica nosso trabalho porque calcular a divergência e integrar no volume pode ser mais fácil do que calcular diretamente na superfície.
Passo 4
Vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
No nosso caso,
, então:
Calculando cada derivada:
-
-
(já que não depende de ) -
(já que não depende de )
Então:
Passo 5
Agora, vamos substituir a divergência na integral de volume:
Como
é uma esfera de raio
, é conveniente mudar para coordenadas esféricas para facilitar a integração.
Em coordenadas esféricas:
E o elemento de volume é:
Passo 6
Primeiro, vamos expressar
em coordenadas esféricas:
Então, a integral fica:
Simplificando:
Passo 7
Vamos resolver a integral em partes. Primeiro, a integral em
:
Agora, a integral em
:
E por fim, a integral em
:
Passo 8
Multiplicando todas as partes:
Resposta
O fluxo do campo vetorial
através da superfície
é
.
Exercícios relacionados
Encontre o fluxo do campo vetorial
através da superfície
na direção dada por um campo dos vetores normais
:
Encontre o fluxo do campo vetorial
através da superfície
na direção dada por um campo dos vetores normais
:
Em cada um dos problemas de 11 a 28, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
20.
20.
- Mostre que a solução geral de
pode ser escrita como
Determine a solução que satisfaz as condições iniciais
. Por que é conveniente usar as soluções cosh
e senh
, em vez de
e
?