Encontre o fluxo do campo vetorial F através da superfície S na direção dada por um campo dos vetores normais n :
integral duplaS F cdot n d S
F=(x^3, z,-y), S: x^2+y^2+z^2=R^2, n é a exterior.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície , que é uma esfera de raio . Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Vectorial, especificamente o Teorema da Divergência. Esse teorema nos ajuda a transformar a integral de superfície em uma integral de volume, o que geralmente facilita os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo mede quanta “força” do campo atravessa a superfície. Matematicamente, é representado por:
integral duplaS F cdot n , dS
Onde:
  • é o campo vetorial.
  • é o vetor normal à superfície .
  • é o elemento de área na superfície.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema da Divergência, que diz que o fluxo do campo vetorial através de uma superfície fechada integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV é igual à integral da divergência de sobre o volume delimitado por :
Isso simplifica nosso trabalho porque calcular a divergência e integrar no volume pode ser mais fácil do que calcular diretamente na superfície.

Passo 4

Vamos calcular a divergência de nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z . A divergência de um campo vetorial nabla cdot F = partialpartial x(x^3) + partialpartial y(z) + partialpartial z(-y) é dada por:
nabla cdot F = 3x^2 + 0 + 0 = 3x^2
No nosso caso, , então:
Calculando cada derivada:
  • (já que não depende de )
  • (já que não depende de )
Então:

Passo 5

Agora, vamos substituir a divergência na integral de volume:
integral triplaV 3x^2 , dV
Como dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta é uma esfera de raio , é conveniente mudar para coordenadas esféricas para facilitar a integração.
Em coordenadas esféricas:
E o elemento de volume é:

Passo 6

Primeiro, vamos expressar x^2 = (rho sinphi costheta)^2 = rho^2 sin^2phi cos^2theta em coordenadas esféricas:
integral triplaV 3x^2 , dV = 3 integral0^2pi integral0^pi integral0^R rho^2 sin^2phi cos^2theta cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Então, a integral fica:
3 integral0^2pi integral0^pi integral0^R rho^4 sin^3phi cos^2theta , drho , dphi , dtheta
Simplificando:

Passo 7

Vamos resolver a integral em partes. Primeiro, a integral em integral0^R rho^4 , drho = [rho^55]0^R = R^55 :
integral0^2pi cos^2theta , dtheta = pi
Agora, a integral em integral0^pi sin^3phi , dphi = 43 :
E por fim, a integral em :

Passo 8

Multiplicando todas as partes:
3 cdot R^55 cdot pi cdot 43 = 4pi R^55

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da superfície é .

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