Encontre o fluxo do campo vetorial através da superfície na direção dada por um campo dos vetores normais :
é a exterior.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície , que é uma esfera de raio . Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Vectorial, especificamente o Teorema da Divergência. Esse teorema nos ajuda a transformar a integral de superfície em uma integral de volume, o que geralmente facilita os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo mede quanta “força” do campo atravessa a superfície. Matematicamente, é representado por:
Onde:
  • é o campo vetorial.
  • é o vetor normal à superfície .
  • é o elemento de área na superfície.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema da Divergência, que diz que o fluxo do campo vetorial através de uma superfície fechada é igual à integral da divergência de sobre o volume delimitado por :
Isso simplifica nosso trabalho porque calcular a divergência e integrar no volume pode ser mais fácil do que calcular diretamente na superfície.

Passo 4

Vamos calcular a divergência de . A divergência de um campo vetorial é dada por:
No nosso caso, , então:
Calculando cada derivada:
  • (já que não depende de )
  • (já que não depende de )
Então:

Passo 5

Agora, vamos substituir a divergência na integral de volume:
Como é uma esfera de raio , é conveniente mudar para coordenadas esféricas para facilitar a integração.
Em coordenadas esféricas:
E o elemento de volume é:

Passo 6

Primeiro, vamos expressar em coordenadas esféricas:
Então, a integral fica:
Simplificando:

Passo 7

Vamos resolver a integral em partes. Primeiro, a integral em :
Agora, a integral em :
E por fim, a integral em :

Passo 8

Multiplicando todas as partes:

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da superfície é .

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20.
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Determine a solução que satisfaz as condições iniciais . Por que é conveniente usar as soluções cosh e senh , em vez de e ?