Um taque de água é enchido de acordo com a
, onde
é o volume de água (em litros) no tanque após thoras. Calcule o limite
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado nos dá a função que descreve o volume de água no tanque ao longo do tempo:
Aqui,
representa o volume de água em litros após
horas. Nosso objetivo é calcular o limite dessa função quando
tende ao infinito, ou seja:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites em funções racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o comportamento da função quando
fica muito grande (vai para infinito). Em funções racionais como essa, onde temos polinômios no numerador e no denominador, o limite é determinado pelos termos de maior grau.
No nosso caso, tanto no numerador quanto no denominador, o termo de maior grau é
.
Passo 3
Vamos simplificar a função dividindo o numerador e o denominador pelo maior grau de
, que é
:
Passo 4
Agora, analisamos o comportamento de cada parte conforme
tende ao infinito:
-
tende a 0, pois o denominador cresce sem limites. - Assim, a expressão fica:
Resposta
O limite
litros.
Exercícios relacionados
- Mostre que a solução geral de
pode ser escrita como
Determine a solução que satisfaz as condições iniciais
. Por que é conveniente usar as soluções cosh
e senh
, em vez de
e
?
Em cada um dos problemas de 11 a 28, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
20.
20.
- Considere a equação
.
(a) Use a fórmula de Abel [Problema 20(d) da Seção 4.1] para encontrar o wronskiano de um conjunto fundamental de soluções da equação dada.
(b) Determine o wronskiano das soluçõese sen .
© Determine o wronskiano das soluçõese sen .
Calcule os seguintes limites: