Um taque de água é enchido de acordo com a , onde é o volume de água (em litros) no tanque após thoras. Calcule o limite .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado nos dá a função que descreve o volume de água no tanque ao longo do tempo:
Aqui, representa o volume de água em litros após horas. Nosso objetivo é calcular o limite dessa função quando tende ao infinito, ou seja:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites em funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o comportamento da função quando fica muito grande (vai para infinito). Em funções racionais como essa, onde temos polinômios no numerador e no denominador, o limite é determinado pelos termos de maior grau.
No nosso caso, tanto no numerador quanto no denominador, o termo de maior grau é .

Passo 3

Vamos simplificar a função dividindo o numerador e o denominador pelo maior grau de , que é :

Passo 4

Agora, analisamos o comportamento de cada parte conforme tende ao infinito:
  • tende a 0, pois o denominador cresce sem limites.
  • Assim, a expressão fica:

Resposta

O limite litros.

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  1. Mostre que a solução geral de pode ser escrita como
Determine a solução que satisfaz as condições iniciais . Por que é conveniente usar as soluções cosh e senh , em vez de e ?
Em cada um dos problemas de 11 a 28, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
20.
  1. Considere a equação .
    (a) Use a fórmula de Abel [Problema 20(d) da Seção 4.1] para encontrar o wronskiano de um conjunto fundamental de soluções da equação dada.
    (b) Determine o wronskiano das soluções e sen .
    © Determine o wronskiano das soluções e sen .
Calcule os seguintes limites: