Calcule as integrais em coordenadas cilíndricas nos exercícios 1-6. integral0^2 pi integral0^3 integralr^2 / 3^raiz18-r^2 d z r d r d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla em coordenadas cilíndricas. O enunciado nos dá os limites de integração para , e . Para resolver, vamos precisar entender como integrar em coordenadas cilíndricas e aplicar as fórmulas de integração passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a integral dada:
integral0^2pi integral0^3 integralr^23^raiz18 - r^2 dz , r , dr , dtheta
Aqui, varia de a , de a e entre e .

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a integralr^23^raiz18 - r^2 dz = raiz18 - r^2 - r^23 . A integral em é:
Isso porque a integral de é simplesmente , avaliada nos limites.

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão na integral dupla:
integral0^2pi integral0^3 ( raiz18 - r^2 - r^23 ) r , dr , dtheta
Vamos distribuir o integral0^2pi integral0^3 ( r raiz18 - r^2 - r^33 ) dr , dtheta :

Passo 5

Vamos resolver a integral em integral0^3 r raiz18 - r^2 , dr - integral0^3 r^33 , dr separadamente:
-12 integral18^9 raizu , du = 12 integral9^18 raizu , du = 12 cdot 23 ( u^3/2 ) g|9^18 = 13 ( 18^3/2 - 9^3/2 )
Para a primeira parte, fazemos a substituição 18^3/2 = 18 raiz18 = 18 cdot 4,2426 approx 76,368 , 9^3/2 = 9 raiz9 = 9 cdot 3 = 27 :
13 (76,368 - 27) = 13 cdot 49,368 approx 16,456
Calculando:
integral0^3 r^33 , dr = 13 cdot r^44 g|0^3 = 112 (81 - 0) = 8112 = 6,75
Então:
Para a segunda parte:

Passo 6

Agora, juntando as duas partes:
16,456 - 6,75 = 9,706
Essa é a integral em e .

Passo 7

Finalmente, integramos em integral0^2pi 9,706 , dtheta = 9,706 cdot 2pi approx 9,706 cdot 6,2832 approx 61 :

Resposta

A integral avaliada é aproximadamente .

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