39-50 Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.
49. f(x)= x+2 & se x <=-1 x^2 & se x>-1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes, que é chamada de função por partes ou função definida por casos. O objetivo aqui é encontrar o domínio da função e também esboçar o gráfico dela. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis que a variável independente (neste caso, x) pode assumir. Para resolver isso, precisaremos analisar cada uma das partes da função.

Passo 2

Agora, vamos olhar para a função que nos foi dada:
f(x)= x+2 & se x <=-1 x^2 & se x > -1
A função tem duas partes:
  1. f(x) = x + 2 para x <= -1
  2. f(x) = x^2 para x > -1
Vamos encontrar o domínio de cada parte da função:
  • Para a primeira parte ( x + 2), a condição é que x deve ser menor ou igual a -1. Assim, todos os valores de x que são menores ou iguais a -1 estão incluídos no domínio desta parte.
  • Para a segunda parte ( x^2), a condição é que x deve ser maior que -1. Todos os valores de x que são maiores que -1 estão incluídos no domínio desta parte.

Passo 3

Com isso, podemos juntar as duas partes para definir o domínio total da função. O domínio é:
  1. Inclui todos os x que são menores ou iguais a -1 (do primeiro caso).
  2. Inclui todos os x que são maiores que -1 (do segundo caso).
Portanto, o domínio da função f(x) é (-infty, -1] cup (-1, +infty). Isso significa que a função pode aceitar qualquer valor de x, exceto -1, que aparece como um ponto onde a função troca de regra.

Passo 4

Agora vamos esboçar o gráfico da função. Começamos desenhando os dois trechos:
  1. Para x <= -1, temos f(x) = x + 2. Isso é uma reta com coeficiente angular 1 (ou seja, sobe 1 unidade para a direita e 1 unidade para cima). No ponto onde x = -1, temos:
f(-1) = -1 + 2 = 1
Então a reta vai até o ponto (-1, 1) e se estende para a esquerda.
  1. Para x > -1, temos f(x) = x^2. Essa é uma parábola que abre para cima e começa logo após -1. No ponto x = 0, por exemplo:
f(0) = 0^2 = 0
Assim, estamos prontos para traçar esta parte do gráfico também.

Resposta

O domínio da função f(x) é (-infty, -1] cup (-1, +infty). E o gráfico consiste de uma reta linear para x <= -1 e uma parábola para x > -1.

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