39-50 Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes, que é chamada de função por partes ou função definida por casos. O objetivo aqui é encontrar o domínio da função e também esboçar o gráfico dela. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis que a variável independente (neste caso,
) pode assumir. Para resolver isso, precisaremos analisar cada uma das partes da função.
Passo 2
Agora, vamos olhar para a função que nos foi dada:
A função tem duas partes:
-
para -
para
Vamos encontrar o domínio de cada parte da função:
- Para a primeira parte (
), a condição é que deve ser menor ou igual a . Assim, todos os valores de que são menores ou iguais a estão incluídos no domínio desta parte. - Para a segunda parte (
), a condição é que deve ser maior que . Todos os valores de que são maiores que estão incluídos no domínio desta parte.
Passo 3
Com isso, podemos juntar as duas partes para definir o domínio total da função. O domínio é:
- Inclui todos os
que são menores ou iguais a (do primeiro caso). - Inclui todos os
que são maiores que (do segundo caso).
Portanto, o domínio da função
é
. Isso significa que a função pode aceitar qualquer valor de
, exceto
, que aparece como um ponto onde a função troca de regra.
Passo 4
Agora vamos esboçar o gráfico da função. Começamos desenhando os dois trechos:
- Para
, temos . Isso é uma reta com coeficiente angular 1 (ou seja, sobe 1 unidade para a direita e 1 unidade para cima). No ponto onde , temos:
Então a reta vai até o ponto
e se estende para a esquerda.
- Para
, temos . Essa é uma parábola que abre para cima e começa logo após . No ponto , por exemplo:
Assim, estamos prontos para traçar esta parte do gráfico também.
Resposta
O domínio da função
é
. E o gráfico consiste de uma reta linear para
e uma parábola para
.