Encontre .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , onde . Para resolver isso, vamos utilizar regras de derivação, como a regra da cadeia e a derivada da função tangente.

Passo 2

Primeiro, identificamos que é uma função composta, onde a função exterior é a tangente ( ) e a função interior é . Para derivar em relação a , vamos aplicar a regra da cadeia.

Passo 3

A regra da cadeia nos diz que . Então, vamos derivar a função exterior em relação a e depois multiplicar pela derivada da função interior em relação a .

Passo 4

Derivando a função exterior: . Lembrando que a derivada de é .

Passo 5

Agora, derivamos a função interior . Podemos reescrever como , e então aplicar a regra da potência:

Passo 6

Agora, juntamos as derivadas encontradas:

Resposta

Portanto, a derivada de em relação a é:

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, então é critico. Entretanto, como é estritamente maior do que zero em uma vizinhança de é sempre crescente, logo não possui máximos ou mínimos locais.
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para todo
Encontre .
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