Encontre
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
, onde
. Para resolver isso, vamos utilizar regras de derivação, como a regra da cadeia e a derivada da função tangente.
Passo 2
Primeiro, identificamos que
é uma função composta, onde a função exterior é a tangente (
) e a função interior é
. Para derivar
em relação a
, vamos aplicar a regra da cadeia.
Passo 3
A regra da cadeia nos diz que
. Então, vamos derivar a função exterior em relação a
e depois multiplicar pela derivada da função interior em relação a
.
Passo 4
Derivando a função exterior:
. Lembrando que a derivada de
é
.
Passo 5
Agora, derivamos a função interior
. Podemos reescrever como
, e então aplicar a regra da potência:
Passo 6
Agora, juntamos as derivadas encontradas:
Resposta
Portanto, a derivada de
em relação a
é:
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, então
é critico. Entretanto, como
é estritamente maior do que zero em uma vizinhança de
é sempre crescente, logo não possui máximos ou mínimos locais.
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para todo
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