Encontre .

Passo 1

Então, a gente tem a equação e precisamos encontrar . Isso envolve cálculo de derivadas implícitas, que é quando as variáveis estão misturadas e a gente precisa derivar em relação a considerando que também é uma função de .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que quando derivamos termos com , precisamos usar a regra da cadeia, multiplicando pela .

Passo 3

Derivando o lado esquerdo :
Usamos a regra do produto:
Aqui, e
Então:

Passo 4

Derivando o lado direito :
Novamente, usamos a regra do produto onde e
Então:

Passo 5

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:

Passo 6

Vamos reunir os termos que têm de um lado:

Passo 7

Fatoramos do lado esquerdo:

Passo 8

Isolamos :

Resposta

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Encontre .
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, então é critico. Entretanto, como é estritamente maior do que zero em uma vizinhança de é sempre crescente, logo não possui máximos ou mínimos locais.
Encontre .
Encontre a equação da reta tangente a curva , no ponto .