39-H
d) lim x -2 raiz[3]x^3+2 x^2-3 x+2x^2+4 x+3 stackrel(L8)= raiz[3]lim x -2 x^3+2 x^2-3 x+2x^2+4 x+3 stackrel(L7)=
=raiz[3]lim x -2 (x^3+2 x^2-3 x+2)(x^2+4 x-3) stackrel(T)= raiz[3]-8=-2

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x -2 raiz[3]x^3+2 x^2-3 x+2x^2+4 x+3. Para isso, vamos utilizar conceitos de limites e propriedades de funções polinomiais. Precisaremos fatorar tanto o numerador quanto o denominador para simplificar a expressão dentro da raiz cúbica.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o numerador x^3 + 2x^2 - 3x + 2. Para fatorar um polinômio de terceiro grau, podemos tentar encontrar uma raiz racional usando o Teorema das Raízes Racionais. Testando possíveis raízes:
  • Para x = 1: 1^3 + 2(1)^2 - 3(1) + 2 = 1 + 2 - 3 + 2 = 2 neq 0
  • Para x = -1: (-1)^3 + 2(-1)^2 - 3(-1) + 2 = -1 + 2 + 3 + 2 = 6 neq 0
  • Para x = 2: 2^3 + 2(2)^2 - 3(2) + 2 = 8 + 8 - 6 + 2 = 12 neq 0
Parece que não temos raízes inteiras simples. No entanto, seguindo o enunciado original, vamos simplificar diretamente a expressão.

Passo 3

Aplicamos as leis dos limites, especificamente a Lei da Continuidade da Raiz Cúbica (Lei 8) e a Lei do Quociente (Lei 7):
lim x -2 raiz[3]x^3+2 x^2-3 x+2x^2+4 x+3 = raiz[3]lim x -2 x^3+2 x^2-3 x+2x^2+4 x+3

Passo 4

Agora, calculamos o limite da fração substituindo x = -2 diretamente, já que não há indeterminação:
Para o numerador:
(-2)^3 + 2(-2)^2 - 3(-2) + 2 = -8 + 8 + 6 + 2 = 8
Para o denominador:
(-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1
Portanto, a fração é:
8-1 = -8

Passo 5

Agora, aplicamos a raiz cúbica ao resultado obtido:
raiz[3]-8 = -2

Resposta

-2

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