3a ^a Questão (4,0) A partir da curva plana y=z^2+3 z+1, obtenha a equação cartesiana da superfície de revolução obtida por meio da revolução desta curva ao redor do eixo Y.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a curva plana definida por e precisamos encontrar a equação cartesiana da superfície que resulta ao girar essa curva ao redor do eixo Y. Isso envolve conceitos de geometria analítica e superfícies de revolução.

Passo 2

Para girar uma curva em torno do eixo Y, precisamos considerar como cada ponto da curva se movimenta durante essa rotação. Imagine que cada ponto da curva original descreve um círculo ao redor do eixo Y. A distância desse ponto ao eixo Y é dada por , onde é a coordenada horizontal que aparece devido à rotação.

Passo 3

A equação da superfície de revolução é obtida substituindo y = z^2 + 3z + 1 pela expressão que envolve y = (r^2 - x^2) + 3z + 1 . Começamos com a equação original da curva:
y = x^2 + z^2 + 3raizx^2 + z^2 + 1
Substituímos por , já que . Então temos:
Mas pode ser expresso em termos de e , então para simplificar, reconhecemos que a equação final incorpora . Portanto, a equação fica:

Resposta

A equação cartesiana da superfície de revolução é:
y = x^2 + z^2 + 3raizx^2 + z^2 + 1

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