4^a Questão (2,0) Obtenha a equaçao cartesiana obtida da revolução da curva
y^24+z^29=1, x=0
ao redor do eixo y. Que nome recebe esta superfície?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação cartesiana da superfície que resulta da revolução da curva ao redor do eixo . Isso está relacionado a conceitos de geometria espacial e transformação de figuras no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva original. A equação é uma elipse no plano (onde ). Essa elipse tem semi-eixos de comprimento 2 ao longo do eixo e 3 ao longo do eixo .

Passo 3

Quando a gente gira essa elipse ao redor do eixo , cada ponto da elipse vai descrever um círculo perfeito no plano . Isso significa que a distância de qualquer ponto da superfície resultante ao eixo vai ser constante em relação ao raio original da elipse.

Passo 4

Para descrever matematicamente essa revolução, substituímos y^24 + x^2 + z^29 = 1 por , já que ao girar, se transforma junto com . A equação fica então:

Resposta

A equação cartesiana da superfície é . Essa superfície é chamada de elipsoide.

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