Dado o ponto e o plano de equação , qual dos pontos listados abaixo é o ponto do plano que está mais próximo do ponto ?

Passo 1

Beleza, então a gente tem um ponto e um plano com a equação . A pergunta é: qual ponto no plano está mais pertinho de ? Pra resolver isso, vamos usar o conteúdo de geometria analítica, mais especificamente a fórmula da distância de um ponto a um plano e a projeção desse ponto no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o ponto mais próximo de no plano é justamente a projeção de sobre . Para encontrar essa projeção, precisamos usar a fórmula que nos dá o ponto projetado a partir de .

Passo 3

A fórmula para encontrar o ponto projetado é a seguinte:
Onde a equação do plano é .
No nosso caso, a equação do plano é , que podemos reescrever como . Assim, temos:
E o ponto , ou seja, , , .

Passo 4

Agora, vamos calcular o numerador da fração:
E o denominador:
Então, a fração fica:

Passo 5

Agora, multiplicamos essa fração pelo vetor :

Passo 6

Finalmente, subtraímos esse resultado do ponto :
Simplificando as frações:

Resposta

O ponto no plano que está mais próximo de é .

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Calcule a distância do ponto ao foco da cônica definida pela equação
3a Questão A partir da curva plana , obtenha a equação cartesiana da superfície de revolução obtida por meio da revolução desta curva ao redor do eixo Y.
Considere a cônica definida parametricamente por :
Obtenha a equação reduzida da cônica.
Seja o plano de equação oplano de equação a reta cuja equação vetorial paramétrica é , e a reta cujas equações simétricas são . Com base nessas informações responda se são verdadeiras ou falsas as seguintes sentenças:
A distância da reta à reta é igual a 5 .
Escolher…
As retas e são reversas.
Escolher…
A distância do plano ao plano é igual a 4 .
Escolher.

A reta está contida no plano .
Escolher…
A reta é concorrente com o plano .