Dado o ponto
e o plano
de equação
, qual dos pontos listados abaixo é o ponto do plano
que está mais próximo do ponto
?
Passo 1
Beleza, então a gente tem um ponto
e um plano
com a equação
. A pergunta é: qual ponto no plano
está mais pertinho de
? Pra resolver isso, vamos usar o conteúdo de geometria analítica, mais especificamente a fórmula da distância de um ponto a um plano e a projeção desse ponto no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o ponto mais próximo de
no plano
é justamente a projeção de
sobre
. Para encontrar essa projeção, precisamos usar a fórmula que nos dá o ponto projetado
a partir de
.
Passo 3
A fórmula para encontrar o ponto projetado
é a seguinte:
Onde a equação do plano é
.
No nosso caso, a equação do plano é
, que podemos reescrever como
. Assim, temos:
E o ponto
, ou seja,
,
,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o numerador da fração:
E o denominador:
Então, a fração fica:
Passo 5
Agora, multiplicamos essa fração pelo vetor
:
Passo 6
Finalmente, subtraímos esse resultado do ponto
:
Simplificando as frações:
Resposta
O ponto no plano
que está mais próximo de
é
.
Exercícios relacionados
Calcule a distância do ponto
ao foco da cônica definida pela equação
3a
Questão
A partir da curva plana
, obtenha a equação cartesiana da superfície de revolução obtida por meio da revolução desta curva ao redor do eixo Y.
Considere a cônica
definida parametricamente por :
Obtenha a equação reduzida da cônica.
Seja
o plano de equação
oplano de equação
a reta cuja equação vetorial paramétrica é
, e
a reta cujas equações simétricas são
. Com base nessas informações responda se são verdadeiras ou falsas as seguintes sentenças:
A distância da reta à reta
é igual a 5 .
Escolher…
As retas e
são reversas.
Escolher…
A distância do plano ao plano
é igual a 4 .
Escolher.
A reta está contida no plano
.
Escolher…
A reta é concorrente com o plano
.
A distância da reta
Escolher…
As retas
Escolher…
A distância do plano
Escolher.
A reta
Escolher…
A reta