Dado o ponto
e o plano
de equação
, qual dos pontos listados abaixo é o ponto do plano
que está mais próximo do ponto
?
Passo 1
Beleza, então a gente tem um ponto
e um plano
com a equação
. A pergunta é: qual ponto no plano
está mais pertinho de
? Pra resolver isso, vamos usar o conteúdo de geometria analítica, mais especificamente a fórmula da distância de um ponto a um plano e a projeção desse ponto no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o ponto mais próximo de
no plano
é justamente a projeção de
sobre
. Para encontrar essa projeção, precisamos usar a fórmula que nos dá o ponto projetado
a partir de
.
Passo 3
A fórmula para encontrar o ponto projetado
é a seguinte:
Onde a equação do plano é
.
No nosso caso, a equação do plano é
, que podemos reescrever como
. Assim, temos:
E o ponto
, ou seja,
,
,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o numerador da fração:
E o denominador:
Então, a fração fica:
Passo 5
Agora, multiplicamos essa fração pelo vetor
:
Passo 6
Finalmente, subtraímos esse resultado do ponto
:
Simplificando as frações:
Resposta
O ponto no plano
que está mais próximo de
é
.