Dado o ponto P0=(1,1,1) e o plano pi de equação 2 x+3 y+5 z=30, qual dos pontos listados abaixo é o ponto do plano pi que está mais próximo do ponto P0 ?

Passo 1

Beleza, então a gente tem um ponto e um plano com a equação . A pergunta é: qual ponto no plano está mais pertinho de ? Pra resolver isso, vamos usar o conteúdo de geometria analítica, mais especificamente a fórmula da distância de um ponto a um plano e a projeção desse ponto no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o ponto mais próximo de no plano é justamente a projeção de sobre . Para encontrar essa projeção, precisamos usar a fórmula que nos dá o ponto projetado a partir de .

Passo 3

A fórmula para encontrar o ponto projetado P = P0 - A x0 + B y0 + C z0 + DA^2 + B^2 + C^2 cdot (A, B, C) é a seguinte:
A = 2, B = 3, C = 5, D = -30
Onde a equação do plano é .
No nosso caso, a equação do plano é , que podemos reescrever como . Assim, temos:
E o ponto , ou seja, , , .

Passo 4

Agora, vamos calcular o numerador da fração:
A x0 + B y0 + C z0 + D = 2(1) + 3(1) + 5(1) - 30 = 2 + 3 + 5 - 30 = -20
E o denominador:
A^2 + B^2 + C^2 = 2^2 + 3^2 + 5^2 = 4 + 9 + 25 = 38
Então, a fração fica:
-2038 = -1019

Passo 5

Agora, multiplicamos essa fração pelo vetor -1019 cdot (2, 3, 5) = ( -2019, -3019, -5019 ) :

Passo 6

Finalmente, subtraímos esse resultado do ponto P = (1, 1, 1) - ( 2019, 3019, 5019 ) = ( 1 - 2019, 1 - 3019, 1 - 5019 ) :
P = ( 1919 - 2019, 1919 - 3019, 1919 - 5019 ) = ( -119, -1119, -3119 )
Simplificando as frações:

Resposta

O ponto no plano que está mais próximo de é .

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