Verifique se são coplanares os pontos A(1,1,0), B(-2,1,6), C(-1,2,-1) e D(2,-1,-4)

Passo 1

Vamos verificar se os pontos , , e estão coplanares. Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, especificamente o cálculo de determinantes para determinar a coplanaridade de quatro pontos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa pontos coplanares. Quatro pontos são coplanares se todos eles estiverem na mesma superfície plana. Para verificar isso, podemos calcular o determinante formado pelos vetores que ligam um dos pontos aos outros três. Se o determinante for zero, os pontos são coplanares.

Passo 3

Vamos escolher o ponto AB = B - A = (-2-1, 1-1, 6-0) = (-3, 0, 6) como referência e calcular os vetores AC = C - A = (-1-1, 2-1, -1-0) = (-2, 1, -1) , AD = D - A = (2-1, -1-1, -4-0) = (1, -2, -4) e :

Passo 4

Agora, formamos uma matriz com as componentes desses vetores e calculamos o determinante:
-3 & 0 & 6 -2 & 1 & -1 1 & -2 & -4
Para calcular o determinante, usamos a regra de Sarrus:
det = -3 times (1 times (-4) - (-1) times (-2)) - 0 times (-2 times (-4) - (-1) times 1) + 6 times (-2 times (-2) - 1 times 1)

Passo 5

Vamos simplificar cada parte do determinante:
det = -3 times (-4 - 2) - 0 times (8 - (-1)) + 6 times (4 - 1)
det = -3 times (-6) - 0 times 9 + 6 times 3
det = 18 - 0 + 18
det = 36

Resposta

Como o determinante calculado é , os pontos , , e não são coplanares.

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