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Questão) A soma de dois subespaços vetoriais de um espaço vetorial V qualquer sempre é um subespaço vetorial do espaço vetorial V.Se a resposta for sim, prove este resultado. Se a resposta for não, cite um contra-exemplo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta é se a soma de dois subespaços vetoriais dentro de um espaço vetorial
sempre forma outro subespaço de
. A gente vai usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e como somar dois deles. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é soma de subespaços e verificar se os critérios para ser um subespaço são atendidos.
Passo 2
Primeiro, vamos esclarecer o que significa a soma de dois subespaços. Se temos dois subespaços
e
de
, a soma
é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de
e um vetor de
. Em notação matemática:
Passo 3
Agora, para mostrar que
é um subespaço de
, precisamos verificar três propriedades principais:
- Contém o vetor zero: O vetor zero de
deve estar em . - Fechado sob adição: Se a gente pegar dois vetores qualquer em
e somar, o resultado também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos um vetor de
por qualquer escalar, o resultado também deve estar em .
Passo 4
Vamos verificar cada uma dessas propriedades:
-
Contém o vetor zero:
- Sabemos que
e são subespaços, então ambos contêm o vetor zero . - Portanto,
está em .
- Sabemos que
-
Fechado sob adição:
- Seja
e em , onde e . - A soma dessas duas vetores é:
- Como
e são subespaços, e . - Logo,
.
- Seja
-
Fechado sob multiplicação por escalar:
- Seja
em e um escalar. - Multiplicando por
, temos: - Como
e são subespaços, e . - Portanto,
.
- Seja
Resposta
Sim, a soma de dois subespaços vetoriais
e
de um espaço vetorial
sempre resulta em um subespaço vetorial de
. Isso porque
contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, atendendo assim a todas as propriedades necessárias para ser um subespaço.