(3a ^a Questão) A soma de dois subespaços vetoriais de um espaço vetorial V qualquer sempre é um subespaço vetorial do espaço vetorial V.Se a resposta for sim, prove este resultado. Se a resposta for não, cite um contra-exemplo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta é se a soma de dois subespaços vetoriais dentro de um espaço vetorial sempre forma outro subespaço de . A gente vai usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e como somar dois deles. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é soma de subespaços e verificar se os critérios para ser um subespaço são atendidos.

Passo 2

Primeiro, vamos esclarecer o que significa a soma de dois subespaços. Se temos dois subespaços U + W = u + w mid u in U e w in W e de , a soma é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de . Em notação matemática:

Passo 3

Agora, para mostrar que é um subespaço de , precisamos verificar três propriedades principais:
  1. Contém o vetor zero: O vetor zero de deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se a gente pegar dois vetores qualquer em e somar, o resultado também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos um vetor de por qualquer escalar, o resultado também deve estar em .

Passo 4

Vamos verificar cada uma dessas propriedades:
  1. Contém o vetor zero:
    • Sabemos que v1 + v2 = (u1 + w1) + (u2 + w2) = (u1 + u2) + (w1 + w2) e cv = c(u + w) = cu + cw são subespaços, então ambos contêm o vetor zero .
    • Portanto, está em .
  2. Fechado sob adição:
    • Seja e em , onde e .
    • A soma dessas duas vetores é:
    • Como e são subespaços, e .
    • Logo, .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar:
    • Seja em e um escalar.
    • Multiplicando por , temos:
    • Como e são subespaços, e .
    • Portanto, .

Resposta

Sim, a soma de dois subespaços vetoriais e de um espaço vetorial sempre resulta em um subespaço vetorial de . Isso porque contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, atendendo assim a todas as propriedades necessárias para ser um subespaço.

Exercícios relacionados