Mostre que as transformações dadas abaixo são lineares e determine seu N(T) e a sua Im(T). Quais das transformações dadas são injetoras? Quais são sobrejetora?
T: M2 times 2 R^3 ; T(lla & b c & d)=(a+b, c-d, 2 a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que a transformação é linear, encontrar o núcleo e a imagem dela. Além disso, precisamos verificar quais transformações são injetoras e quais são sobrejetoras. Para isso, vamos precisar entender conceitos de transformações lineares, núcleo, imagem, injetividade e sobrejetividade.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que a transformação a & b c & d é linear. Uma transformação linear deve satisfazer duas propriedades:
  1. e & f g & h
  2. a+e & b+f c+g & d+h
Vamos considerar duas matrizes T(A + B) = ((a+e)+(b+f), (c+g)-(d+h), 2(a+e)) = (a+b+e+f, c - d + g - h, 2a + 2e) e T(A) + T(B) = (a+b, c-d, 2a) + (e+f, g-h, 2e) = (a+b+e+f, c-d+g-h, 2a+2e) em kA = ka & kb kc & kd , e um escalar T(kA) = (ka + kb, kc - kd, 2(ka)) = k(a + b, c - d, 2a) = kT(A) .
Adicionar matrizes:
Aplicando em :
Agora, calculando :
Vemos que .
Multiplicação por escalar:
Aplicando em :
Portanto, .
Como as duas propriedades são satisfeitas, é uma transformação linear.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o núcleo T( a & b c & d ) = (a + b, c - d, 2a) = (0, 0, 0) da transformação a + b = 0 c - d = 0 2a = 0 . O núcleo é o conjunto de todas as matrizes N(T) = 0 & 0 c & c ; | ; c in R tais que .
Ou seja:
Isso nos dá o sistema de equações:
Da terceira equação, implica . Substituindo na primeira equação, , então . Da segunda equação, implica .
Portanto, o núcleo é:

Passo 4

Vamos encontrar agora a imagem a & b c & d da transformação x = a + b y = c - d z = 2a . A imagem é o conjunto de todos os vetores em x = z2 + b Rightarrow b = x - z2 que podem ser obtidos aplicando c = y + d a alguma matriz em Im(T) = R^3 .
Considerando , podemos ver que qualquer vetor na imagem deve satisfazer:
Da terceira equação, implica . Substituindo na primeira equação:
A variável pode ser escrita em termos de e :
Como é livre, a imagem é todo o espaço , pois podemos escolher de forma a obter qualquer .
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos verificar se a transformação 0 & 0 c & c é injetora. Uma transformação é injetora se diferentes elementos do domínio resultam em diferentes elementos na imagem, ou seja, se implica .
No entanto, observamos que o núcleo não contém apenas a matriz zero. De fato, contém todas as matrizes da forma . Isso significa que existem matrizes diferentes que são mapeadas para o mesmo vetor zero, então não é injetora.

Passo 6

Finalmente, vamos verificar se a transformação é sobrejetora. Uma transformação é sobrejetora se todo elemento do contradomínio é imagem de pelo menos um elemento do domínio .
Já vimos no Passo 4 que , ou seja, para qualquer vetor em , existe uma matriz em tal que . Portanto, é sobrejetora.

Resposta

A transformação 0 & 0 c & c é linear, seu núcleo é , e sua imagem é . A transformação não é injetora, mas é sobrejetora.

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