Mostre que as transformações dadas abaixo são lineares e determine seu e a sua . Quais das transformações dadas são injetoras? Quais são sobrejetora?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que a transformação é linear, encontrar o núcleo e a imagem dela. Além disso, precisamos verificar quais transformações são injetoras e quais são sobrejetoras. Para isso, vamos precisar entender conceitos de transformações lineares, núcleo, imagem, injetividade e sobrejetividade.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que a transformação é linear. Uma transformação linear deve satisfazer duas propriedades:
Vamos considerar duas matrizes e em , e um escalar .
Adicionar matrizes:
Aplicando em :
Agora, calculando :
Vemos que .
Multiplicação por escalar:
Aplicando em :
Portanto, .
Como as duas propriedades são satisfeitas, é uma transformação linear.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o núcleo da transformação . O núcleo é o conjunto de todas as matrizes tais que .
Ou seja:
Isso nos dá o sistema de equações:
Da terceira equação, implica . Substituindo na primeira equação, , então . Da segunda equação, implica .
Portanto, o núcleo é:
Passo 4
Vamos encontrar agora a imagem a & b c & d da transformação x = a + b y = c - d z = 2a . A imagem é o conjunto de todos os vetores em x = z2 + b Rightarrow b = x - z2 que podem ser obtidos aplicando c = y + d a alguma matriz em Im(T) = R^3 .
Considerando , podemos ver que qualquer vetor na imagem deve satisfazer:
Da terceira equação, implica . Substituindo na primeira equação:
A variável pode ser escrita em termos de e :
Como é livre, a imagem é todo o espaço , pois podemos escolher de forma a obter qualquer .
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos verificar se a transformação 0 & 0 c & c é injetora. Uma transformação é injetora se diferentes elementos do domínio resultam em diferentes elementos na imagem, ou seja, se implica .
No entanto, observamos que o núcleo não contém apenas a matriz zero. De fato, contém todas as matrizes da forma . Isso significa que existem matrizes diferentes que são mapeadas para o mesmo vetor zero, então não é injetora.
Passo 6
Finalmente, vamos verificar se a transformação é sobrejetora. Uma transformação é sobrejetora se todo elemento do contradomínio é imagem de pelo menos um elemento do domínio .
Já vimos no Passo 4 que , ou seja, para qualquer vetor em , existe uma matriz em tal que . Portanto, é sobrejetora.
Resposta
A transformação 0 & 0 c & c é linear, seu núcleo é , e sua imagem é . A transformação não é injetora, mas é sobrejetora.