Considere A=[ai j] uma matriz de ordem m times n e B=[bi j] uma matriz de ordem 1 times m. Justifique porque podemos escrever
B A=b11 lin1(A)+b12 lin2(A)+ldots+b1 m linm(A)

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido aqui. Temos duas matrizes: de ordem e de ordem . A questão nos pede para justificar por que podemos escrever o produto como uma combinação linear das linhas de , multiplicadas pelos elementos correspondentes de . Para resolver isso, vamos utilizar os conceitos de multiplicação de matrizes e combinação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a multiplicação de matrizes. Quando multiplicamos uma matriz de ordem por uma matriz de ordem , o resultado será uma matriz de ordem . Cada elemento dessa matriz resultante é calculado multiplicando os elementos da linha de pelos elementos correspondentes das colunas de e somando esses produtos.

Passo 3

Vamos considerar especificamente as linhas de . Cada linha representa a -ésima linha da matriz . Quando multiplicamos por , estamos essencialmente fazendo uma combinação linear dessas linhas, onde os coeficientes dessa combinação são os elementos da matriz .

Passo 4

Vamos expressar isso matematicamente. O produto B A = b11 lin1(A) + b12 lin2(A) + ldots + b1m linm(A) pode ser expandido da seguinte forma:
Aqui, cada termo é a -ésima linha de multiplicada pelo escalar .

Passo 5

Essa representação mostra que o produto é uma combinação linear das linhas de , onde cada linha é ponderada pelo elemento correspondente de . Isso é uma consequência direta da definição de multiplicação de matrizes, onde cada elemento da matriz resultante é a soma dos produtos dos elementos correspondentes das linhas de e das colunas de .

Resposta

Portanto, podemos escrever:
B A = b11 lin1(A) + b12 lin2(A) + ldots + b1m linm(A)
porque o produto de por é uma combinação linear das linhas de , cada uma multiplicada pelo elemento correspondente de .

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