Considere
uma matriz de ordem
e
uma matriz de ordem
. Justifique porque podemos escrever
Passo 1
Vamos entender o que está sendo pedido aqui. Temos duas matrizes:
de ordem
e
de ordem
. A questão nos pede para justificar por que podemos escrever o produto
como uma combinação linear das linhas de
, multiplicadas pelos elementos correspondentes de
. Para resolver isso, vamos utilizar os conceitos de multiplicação de matrizes e combinação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a multiplicação de matrizes. Quando multiplicamos uma matriz
de ordem
por uma matriz
de ordem
, o resultado será uma matriz de ordem
. Cada elemento dessa matriz resultante é calculado multiplicando os elementos da linha de
pelos elementos correspondentes das colunas de
e somando esses produtos.
Passo 3
Vamos considerar especificamente as linhas de
. Cada linha
representa a
-ésima linha da matriz
. Quando multiplicamos
por
, estamos essencialmente fazendo uma combinação linear dessas linhas, onde os coeficientes dessa combinação são os elementos
da matriz
.
Passo 4
Vamos expressar isso matematicamente. O produto
pode ser expandido da seguinte forma:
Aqui, cada termo
é a
-ésima linha de
multiplicada pelo escalar
.
Passo 5
Essa representação mostra que o produto
é uma combinação linear das linhas de
, onde cada linha é ponderada pelo elemento correspondente de
. Isso é uma consequência direta da definição de multiplicação de matrizes, onde cada elemento da matriz resultante é a soma dos produtos dos elementos correspondentes das linhas de
e das colunas de
.
Resposta
Portanto, podemos escrever:
porque o produto de
por
é uma combinação linear das linhas de
, cada uma multiplicada pelo elemento correspondente de
.