Nas aplicações lineares dadas abaixo, determine o N(T) e a Im(T). Em seguida, responda se a transformação linear é injetora, sobrejetora. Quais as aplicações lineares que são invertíveis, isto é, são isomorfismos? Nestes casos, determine T^-1.
T: P2(x) R^3 ; T(a x^2+b x+c)=(a, a+b, b-c)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar o Núcleo de ( ), a Imagem de ( ), verificar se é injetora e sobrejetora, e descobrir se é invertível, ou seja, um isomorfismo. Se for invertível, também vamos determinar .

Passo 2

Primeiro, vamos achar o Núcleo de T(a x^2 + b x + c) = (a, a + b, b - c) = (0, 0, 0) , que é o conjunto de todos os polinômios a = 0 a + b = 0 b - c = 0 que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, queremos resolver:
Isso nos dá o sistema de equações:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda, então . Finalmente, da terceira equação, resultando em .
Portanto, , ou seja, o único polinômio no núcleo é o polinômio nulo.

Passo 3

Agora, vamos determinar a Imagem de a = y1 a + b = y2 b - c = y3 , que é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos pela transformação . Queremos ver se conseguimos atingir qualquer vetor em .
Para isso, precisamos encontrar tais que:
Resolvendo o sistema:
  1. Substituindo na segunda equação: então
  2. Substituindo na terceira equação: então
Como conseguimos encontrar para qualquer , concluímos que .

Passo 4

Vamos agora verificar se é injetora e sobrejetora.
  • Injetora: Uma transformação linear é injetora se . Como já vimos que , é injetora.
  • Sobrejetora: Uma transformação linear é sobrejetora se a sua imagem é todo o espaço de chegada. Já mostramos que , então é sobrejetora.
Como é injetora e sobrejetora, ela é bijetora, ou seja, um isomorfismo.

Passo 5

Como T(a x^2 + b x + c) = (a, a + b, b - c) é invertível, vamos encontrar a transformação inversa a = y1 b = y2 - y1 c = y2 - y1 - y3 . Sabemos que:
T^-1(y1, y2, y3) = y1 x^2 + (y2 - y1) x + (y2 - y1 - y3)
A partir das equações que resolvemos para encontrar a imagem, já temos:
Portanto, a transformação inversa mapeia para o polinômio correspondente:

Resposta

T^-1(y1, y2, y3) = y1 x^2 + (y2 - y1) x + (y2 - y1 - y3) , . A transformação é injetora e sobrejetora, ou seja, é um isomorfismo. A inversa de é dada por:

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