(1,0 pt) Determine as equações paramétricas do plano que contém as retas e abaixo:
Passo 1
Beleza! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as equações paramétricas de um plano que contém duas retas dadas, chamadas e . Isso envolve entender um pouco de geometria espacial, especialmente como identificar um plano a partir de duas retas que ele contém. Vamos precisar de vetores diretores das retas e de pelo menos um ponto que esteja no plano para montar as equações paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as equações das retas e para identificar seus vetores diretores e pontos.
Para a reta :
Podemos reescrever em termos de um parâmetro, por exemplo, :
Então, o vetor diretor de -2 1 -1 é , e um ponto na reta (quando ) é .
Para a reta :
Vamos chamar esse valor comum de :
Resolvendo para :
Então, o vetor diretor de é , e um ponto na reta (quando ) é .
Passo 3
Agora que temos os vetores diretores das duas retas, 2 -1 1 e -2 1 -1 , podemos encontrar o vetor normal ao plano. O vetor normal pode ser encontrado calculando o produto vetorial desses dois vetores diretores.
n = vr times vs = i & j & k 2 & -1 & 1 -2 & 1 & -1
Calculando o determinante:
n = i cdot ((-1)(-1) - (1)(1)) - j cdot ((2)(-1) - (1)(-2)) + k cdot ((2)(1) - (-1)(-2))
n = i (1 - 1) - j (-2 + 2) + k (2 - 2) = 0 0 0
Ops! O resultado é o vetor nulo, o que significa que os vetores e são colineares ou paralelos, ou ainda que as retas são coincidentes. Como isso não nos ajuda a encontrar um plano, precisamos verificar se as retas são realmente diferentes.
Passo 4
Observando os pontos u = Ps - Pr = 1 - (-3) -1 - 1 0.5 - 0 = 4 -2 0.5 e , percebemos que eles são distintos, o que indica que as retas são paralelas e não coincidentes. Nesse caso, para definir um plano, precisamos de um vetor que vá de um ponto de uma reta até a outra reta.
Vamos calcular o vetor que vai de a :
Agora, temos dois vetores no plano: e . Podemos encontrar o vetor normal ao plano fazendo o produto vetorial desses dois vetores.
Passo 5
Vamos calcular n = i & j & k 2 & -1 & 1 4 & -2 & 0.5 :
n = i cdot ((-1)(0.5) - (1)(-2)) - j cdot ((2)(0.5) - (1)(4)) + k cdot ((2)(-2) - (-1)(4))
Calculando o determinante:
n = i (-0.5 + 2) - j (1 - 4) + k (-4 + 4) = 1.5 3 0
1.5 3 0
Então, o vetor normal ao plano é n = 3 6 0 . Podemos simplificar multiplicando por 2 para evitar frações:
Passo 6
Com o vetor normal 3 6 0 e um ponto no plano, por exemplo, 3(x + 3) + 6(y - 1) + 0(z - 0) = 0 , podemos escrever a equação geral do plano:
Agora, para encontrar as equações paramétricas do plano, podemos expressar e em função de um parâmetro.
Passo 7
Vamos parametrizar o plano usando dois parâmetros, digamos 2 -1 1 e 4 -2 0.5 . Precisamos de dois vetores diretores no plano, que já temos: x = -3 + 2s + 4t y = 1 - s - 2t z = 0 + s + 0.5t e .
A equação paramétrica do plano pode ser escrita como: