3a) Usando o desenvolvimento
, Resolva a EDO
(Valor=2,5)
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada:
Essa equação é uma EDO de primeira ordem e homogênea. Para resolvê-la, vamos usar a substituição
, que simplifica a equação tornando-a separável. Vamos precisar aplicar conceitos de substituição e separação de variáveis para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, fazemos a substituição
. Então, podemos reescrever
em termos de
e
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
. Usando a regra do produto:
onde
.
Passo 4
Substituímos
e
na equação original:
Simplificando os termos:
Passo 5
Dividimos todos os termos por
para simplificar:
Distribuindo
:
Simplificando:
Passo 6
Isolamos o termo que contém
:
Então, dividimos ambos os lados por
:
Passo 7
Agora, separamos as variáveis
e
:
Passo 8
Vamos integrar ambos os lados. Para a integral da esquerda, usamos uma fração par parcial:
E para a direita:
onde
é a constante de integração.
Passo 9
Igualando as integrais:
Multiplicando ambos os lados por 2:
onde
.
Passo 10
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
onde
é uma nova constante.
Passo 11
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando por
:
Passo 12
Isolando
:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde
é uma constante arbitrária.