3a) Usando o desenvolvimento F(y/x), Resolva a EDO
x^2 - 2y^2 + xy y' = 0
(Valor=2,5)

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada:
Essa equação é uma EDO de primeira ordem e homogênea. Para resolvê-la, vamos usar a substituição , que simplifica a equação tornando-a separável. Vamos precisar aplicar conceitos de substituição e separação de variáveis para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, fazemos a substituição . Então, podemos reescrever em termos de e :

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a . Usando a regra do produto:
onde .

Passo 4

Substituímos e na equação original:
Simplificando os termos:

Passo 5

Dividimos todos os termos por para simplificar:
Distribuindo :
Simplificando:

Passo 6

Isolamos o termo que contém :
Então, dividimos ambos os lados por :

Passo 7

Agora, separamos as variáveis e :

Passo 8

Vamos integrar ambos os lados. Para a integral da esquerda, usamos uma fração par parcial:
E para a direita:
onde é a constante de integração.

Passo 9

Igualando as integrais:
Multiplicando ambos os lados por 2:
onde .

Passo 10

Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
onde é uma nova constante.

Passo 11

Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando por :

Passo 12

Isolando :
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde é uma constante arbitrária.

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