Dada a EDO
, determine:
a) O Sistema Fundamental de Soluções da EDO homogênea associada.
a) O Sistema Fundamental de Soluções da EDO homogênea associada.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) homogênea da forma
. O conteúdo que vamos precisar aqui é a resolução de EDOs de equações equidimensionais ou de Cauchy-Euler. Para resolver, vamos assumir uma solução do tipo
e encontrar os valores de
que satisfazem a equação.
Passo 2
Vamos supor que a solução da EDO é da forma
, onde
é um número real que precisamos determinar. Essa é uma técnica comum para resolver equações equidimensionais.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Substituindo essas derivadas na equação original:
Passo 4
Simplificando a expressão:
Fatorando
:
Isso resulta na equação característica:
Passo 5
Resolvendo a equação característica
:
Assim, as raízes são
e
.
Resposta
Um Sistema Fundamental de Soluções da EDO homogênea é
.