2^a Dada a EDO x^2 y'' - 2 x y' + 2 y = x^3 ln(x) ; x > 0, determine:
a) O Sistema Fundamental de Soluções da EDO homogênea associada.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) homogênea da forma . O conteúdo que vamos precisar aqui é a resolução de EDOs de equações equidimensionais ou de Cauchy-Euler. Para resolver, vamos assumir uma solução do tipo e encontrar os valores de que satisfazem a equação.

Passo 2

Vamos supor que a solução da EDO é da forma , onde é um número real que precisamos determinar. Essa é uma técnica comum para resolver equações equidimensionais.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de :
Substituindo essas derivadas na equação original:

Passo 4

Simplificando a expressão:
Fatorando :
Isso resulta na equação característica:

Passo 5

Resolvendo a equação característica :
Assim, as raízes são e .

Resposta

Um Sistema Fundamental de Soluções da EDO homogênea é .

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