Seja f(x) = { x^2, se |x| < 1; 1 - x^2, se |x| ≥ 1 }. Quais são os pontos onde f é contínua? Existem pontos de descontinuidade? Se existirem descontinuidades, elas são removíveis?

Passo 1

Vamos lá! Temos uma função definida por partes:
O objetivo é descobrir onde essa função é contínua, se tem descontinuidades e, se tiver, se essas descontinuidades são removíveis. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções por partes, verificando os pontos onde a definição muda, ou seja, em e x = 1.

Passo 2

Primeiro, lembrando o que é continuidade: uma função é contínua em um ponto c se o limite quando x se aproxima de c existe e é igual ao valor de . Vamos verificar se isso vale nos pontos onde a função muda de definição, que são e x = 1.

Passo 3

Vamos analisar o ponto x = 1. Calculamos o limite pela esquerda:
E o limite pela direita:
Como os limites laterais são diferentes ( ), a função não é contínua em x = 1.

Passo 4

Agora, vamos analisar o ponto . Calculamos o limite pela direita:
E o limite pela esquerda:
Novamente, os limites laterais são diferentes ( ), então a função não é contínua em .

Passo 5

Em todos os outros pontos, a função é contínua porque cada parte é um polinômio, que são funções contínuas em todo o seu domínio. Portanto, os únicos pontos a verificar eram e x = 1.

Passo 6

Como houve descontinuidades em e x = 1, precisamos verificar se são removíveis. Uma descontinuidade é removível quando o limite existe, mas é diferente do valor da função naquele ponto. No nosso caso, os limites laterais são diferentes, o que caracteriza uma descontinuidade do tipo salto, não sendo removível.

Resposta

A função f é contínua em todos os pontos reais, exceto em e x = 1, onde apresenta descontinuidades do tipo salto que não são removíveis.

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