Seja
. Quais são os pontos onde
é contínua? Existem pontos de descontinuidade? Se existirem descontinuidades, elas são removíveis?
Passo 1
Vamos lá! Temos uma função definida por partes:
O objetivo é descobrir onde essa função é contínua, se tem descontinuidades e, se tiver, se essas descontinuidades são removíveis. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções por partes, verificando os pontos onde a definição muda, ou seja, em
e
.
Passo 2
Primeiro, lembrando o que é continuidade: uma função é contínua em um ponto
se o limite quando
se aproxima de
existe e é igual ao valor de
. Vamos verificar se isso vale nos pontos onde a função muda de definição, que são
e
.
Passo 3
Vamos analisar o ponto
. Calculamos o limite pela esquerda:
E o limite pela direita:
Como os limites laterais são diferentes (
), a função não é contínua em
.
Passo 4
Agora, vamos analisar o ponto
. Calculamos o limite pela direita:
E o limite pela esquerda:
Novamente, os limites laterais são diferentes (
), então a função não é contínua em
.
Passo 5
Em todos os outros pontos, a função é contínua porque cada parte é um polinômio, que são funções contínuas em todo o seu domínio. Portanto, os únicos pontos a verificar eram
e
.
Passo 6
Como houve descontinuidades em
e
, precisamos verificar se são removíveis. Uma descontinuidade é removível quando o limite existe, mas é diferente do valor da função naquele ponto. No nosso caso, os limites laterais são diferentes, o que caracteriza uma descontinuidade do tipo salto, não sendo removível.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos reais, exceto em
e
, onde apresenta descontinuidades do tipo salto que não são removíveis.